Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência
Informações dadas e o que é pedido:
- A sequência é dada por
para . - Queremos saber se
converge ou diverge; em caso de convergência, qual é o limite. - Também é útil saber se a sequência é monótona (crescente/decrescente) e se é limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de
quando
cresce. É importante saber que
cresce sem limite (vai para
). Uma forma simples e elementar de ver isso é comparar
com potências de
:
Prova por indução da desigualdade
para
.
- Base
: , ok. - Passo indutivo: suponha
. Então porque para . Logo vale para .
Assim,e como quando , segue que
Passo 3
Uma técnica muito útil para estudar o limite de uma fração em que aparece
tanto no numerador quanto no denominador é dividir numerador e denominador por
. Fazendo isso obtemos
Como acabamos de ver em
Passo 4
Substituindo no formato acima, o limite formal é
Isso mostra que a sequência converge e que o limite é
.
Passo 5
Para uma visão alternativa e muito direta, calculemos a diferença entre
e
:
Como
, o termo
. Logo
, isto é,
. Essa forma também mostra que
para todo
e que a aproximação a
é por baixo (approach from below).
Passo 6
Agora vamos mostrar que a sequência é estritamente crescente (isso não era estritamente necessário para determinar o limite, mas ajuda a entender a sequência na prova).
Defina
. Então
e
Calculamos a diferença
. Usando cálculo algébrico direto:
Expandindo os numeradores:
Subtraindo, o numerador fica
Portanto
Como
e
, o numerador é positivo e o denominador também, de modo que
para todo
. Logo
é estritamente crescente.
Passo 7
Mostramos que
para todo
(pois
), e também
para
(para
dá
, para
é positivo). Então a sequência está limitada inferiormente por
e superiormente por
. Como é estritamente crescente e limitada superiormente por
, pelo teorema da convergência monotônica, ela converge. Já calculámos o limite em
Resposta
A sequência converge e
Além disso, a sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por
.