Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\frac{n!-1}{n!+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência
\left\{\frac{n!-1}{n!+1}\right\}_{n=1}^{\infty}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A sequência é dada por a_n=\dfrac{n!-1}{n!+1} para n\in\mathbb{N}.
  • Queremos saber se a_n converge ou diverge; em caso de convergência, qual é o limite.
  • Também é útil saber se a sequência é monótona (crescente/decrescente) e se é limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de n! quando n cresce. É importante saber que n! cresce sem limite (vai para +\infty). Uma forma simples e elementar de ver isso é comparar n! com potências de 2:
Prova por indução da desigualdade n!\ge 2^{\,n-1} para n\ge1.
  • Base n=1: 1!=1\ge 2^{0}=1, ok.
  • Passo indutivo: suponha k!\ge 2^{\,k-1}. Então (k+1)!=(k+1)k!\ge (k+1)2^{\,k-1}\ge 2\cdot 2^{\,k-1}=2^{\,k},porque k+1\ge 2 para k\ge1. Logo vale para k+1.
    Assim, n!\ge 2^{\,n-1} e como 2^{\,n-1}\to\infty quando n\to\infty, segue que
n!\to\infty\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 3

Uma técnica muito útil para estudar o limite de uma fração em que aparece n! tanto no numerador quanto no denominador é dividir numerador e denominador por n!. Fazendo isso obtemos
a_n=\frac{n!-1}{n!+1}=\frac{1-\dfrac{1}{n!}}{1+\dfrac{1}{n!}}.
Como acabamos de ver em

Passo 4

\frac{1}{n!}\to 0\quad\text{quando }n\to\infty.
Substituindo no formato acima, o limite formal é
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\dfrac{1}{n!}}{1+\dfrac{1}{n!}}=\frac{1-0}{1+0}=1.
Isso mostra que a sequência converge e que o limite é 1.

Passo 5

Para uma visão alternativa e muito direta, calculemos a diferença entre 1 e a_n:
1-a_n=1-\frac{n!-1}{n!+1}=\frac{n!+1-(n!-1)}{n!+1}=\frac{2}{n!+1}.
Como n!\to\infty, o termo \dfrac{2}{n!+1}\to 0. Logo 1-a_n\to 0, isto é, a_n\to 1. Essa forma também mostra que a_n<1 para todo n e que a aproximação a 1 é por baixo (approach from below).

Passo 6

Agora vamos mostrar que a sequência é estritamente crescente (isso não era estritamente necessário para determinar o limite, mas ajuda a entender a sequência na prova).
Defina x=n!. Então a_n=\dfrac{x-1}{x+1} e
a_{n+1}=\frac{(n+1)x-1}{(n+1)x+1}.
Calculamos a diferença a_{n+1}-a_n. Usando cálculo algébrico direto:
a_{n+1}-a_n=\frac{((n+1)x-1)(x+1)-(x-1)((n+1)x+1)}{((n+1)x+1)(x+1)}.
Expandindo os numeradores:
((n+1)x-1)(x+1)=(n+1)x^2+nx-1,
(x-1)((n+1)x+1)=(n+1)x^2-nx-1.
Subtraindo, o numerador fica
\big[(n+1)x^2+nx-1\big]-\big[(n+1)x^2-nx-1\big]=2nx.
Portanto
a_{n+1}-a_n=\frac{2n x}{((n+1)x+1)(x+1)}=\frac{2n\,n!}{((n+1)n!+1)(n!+1)}.
Como n\ge1 e n!>0, o numerador é positivo e o denominador também, de modo que a_{n+1}-a_n>0 para todo n. Logo a_n é estritamente crescente.

Passo 7

Mostramos que a_n<1 para todo n (pois n!-1<n!+1), e também a_n\ge 0 para n\ge1 (para n=1 0, para n\ge2 é positivo). Então a sequência está limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Como é estritamente crescente e limitada superiormente por 1, pelo teorema da convergência monotônica, ela converge. Já calculámos o limite em

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{n!-1}{n!+1}=1.
Além disso, a sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por 1.

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