Estude a convergência das sequências:
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência da sequência
Informações dadas e o que devo responder:
- A sequência é dada por
para . - Preciso dizer se
converge ou diverge e, se converge, determinar o seu limite.
Passo 2
Reescrevendo a expressão de forma mais conveniente para estudar o limite:
Essa manipulação é apenas álgebra:
. Isso já mostra um fato imediato sobre o sinal dos termos: como
para todo
, temos
, logo
e, portanto,
Assim os termos são todos negativos, o que implica que
é majorada por
(isto é,
para todo
).
Passo 3
Vou mostrar que a sequência é crescente (monótona não decrescente). Calcule a diferença entre termos consecutivos:
Compare numerador e denominador:
Logo
, o que faz a razão inside maior que
, e portanto
Concluímos que
é crescente. Juntando com o que vimos antes (é limitada superiormente por
), temos uma sequência crescente e limitada acima. Um resultado elementar sobre sequências diz que qualquer sequência monótona e limitada converge (ela tende ao supremo dos seus termos). Portanto
é convergente.
Passo 4
Falta determinar o limite. Use a forma obtida em Passo 2:
Como
temos
. A função
é contínua em
, então passando ao limite dentro do logaritmo:
Se quiser uma justificativa alternativa e totalmente elementar (descomplicada): para
vale a desigualdade
. Aplicando com
obtemos
ou seja
Como
, pelo teorema do confronto (squeeze) segue
. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado.
Passo 5
Resumo e interpretação final (um empurrãozinho de ânimo): a sequência é crescente, está sempre abaixo de
e tende para
. Portanto ela converge e seu limite é
.
Resposta
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