Estude a convergência das sequências:
\quad \ln \frac{n}{n+3}

Passo 1

O enunciado pede: estudar a convergência da sequência
\left(\ln\frac{n}{n+3}\right)_{n\in\mathbb{N}}.
Informações dadas e o que devo responder:
  • A sequência é dada por a_n=\ln\frac{n}{n+3} para n=1,2,3,\dots.
  • Preciso dizer se a_n converge ou diverge e, se converge, determinar o seu limite.

Passo 2

Reescrevendo a expressão de forma mais conveniente para estudar o limite:
a_n=\ln\frac{n}{n+3}=\ln\!\left(\frac{1}{1+\tfrac{3}{n}}\right)=-\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).
Essa manipulação é apenas álgebra: \dfrac{n}{n+3}=\dfrac{1}{1+3/n}. Isso já mostra um fato imediato sobre o sinal dos termos: como \dfrac{3}{n}>0 para todo n, temos 1+\dfrac{3}{n}>1, logo \ln\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right)>0 e, portanto,
a_n=-\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)<0\quad\text{para todo }n.
Assim os termos são todos negativos, o que implica que a_n é majorada por 0 (isto é, a_n\le 0 para todo n).

Passo 3

Vou mostrar que a sequência é crescente (monótona não decrescente). Calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n=\ln\frac{n+1}{n+4}-\ln\frac{n}{n+3} =\ln\!\left(\frac{n+1}{n+4}\cdot\frac{n+3}{n}\right) =\ln\!\left(\frac{(n+1)(n+3)}{n(n+4)}\right).
Compare numerador e denominador:
(n+1)(n+3)-n(n+4)=\big(n^2+4n+3\big)-\big(n^2+4n\big)=3>0.
Logo (n+1)(n+3)>n(n+4), o que faz a razão inside maior que 1, e portanto
a_{n+1}-a_n>0\quad\text{para todo }n.
Concluímos que (a_n) é crescente. Juntando com o que vimos antes (é limitada superiormente por 0), temos uma sequência crescente e limitada acima. Um resultado elementar sobre sequências diz que qualquer sequência monótona e limitada converge (ela tende ao supremo dos seus termos). Portanto (a_n) é convergente.

Passo 4

Falta determinar o limite. Use a forma obtida em Passo 2:
a_n=-\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).
Como n\to\infty temos \dfrac{3}{n}\to 0. A função \ln é contínua em 1, então passando ao limite dentro do logaritmo:
\lim_{n\to\infty} a_n=-\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)=-\ln(1)=0.
Se quiser uma justificativa alternativa e totalmente elementar (descomplicada): para x>-1 vale a desigualdade \ln(1+x)\le x. Aplicando com x=\tfrac{3}{n}>0 obtemos
0>\!-\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right)\ge -\frac{3}{n},
ou seja
-\frac{3}{n}\le a_n<0.
Como \lim_{n\to\infty}-\tfrac{3}{n}=0, pelo teorema do confronto (squeeze) segue \lim_{n\to\infty}a_n=0. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado.

Passo 5

Resumo e interpretação final (um empurrãozinho de ânimo): a sequência é crescente, está sempre abaixo de 0 e tende para 0. Portanto ela converge e seu limite é 0.

Resposta

0

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