[1,5] Considere a função f(x, y)=x^{2}+y+x^{3} y. Sabendo-se que x(t)=\cos (2 t) e y(t)= e^{t}+t, use a regra da cadeia para obter o valor de \frac{d f}{d t} quando t=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é f(x,y)=x^{2}+y+x^{3}y.
  • As curvas são x(t)=\cos(2t) e y(t)=e^{t}+t.
  • O que se pede: usar a regra da cadeia para obter o valor de \dfrac{df}{dt} no instante t=0.

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia para funções de duas variáveis compostas por uma variável t.
  • Aqui f é função de duas variáveis x e y, mas x e y dependem de t. Logo, f depende de t indiretamente por meio de x(t) e y(t).
  • A regra da cadeia diz que a derivada de f em relação a t é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das variáveis internas:
\frac{df}{dt}= \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
  • Explicando os símbolos:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, tratando y como constante.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante.
    • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y+x^{3}y.
  • Derivada parcial em relação a x: derivar termo a termo, tratando y como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 (pois y é constante quando derivamos em relação a x).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}y)=3x^{2}y (porque y é constante e a derivada de x^{3} é 3x^{2}).
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3x^{2}y.
  • Derivada parcial em relação a y: derivar termo a termo, tratando x como constante.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3}y)=x^{3} (pois x^{3} é constante multiplicando y).
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=1+x^{3}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir de x(t) e y(t), e avaliar em t=0.
  • x(t)=\cos(2t). Derivando:
\frac{dx}{dt} = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).
Avaliando em t=0:
x(0)=\cos(0)=1,\qquad \frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=-2\sin(0)=0.
  • y(t)=e^{t}+t. Derivando:
\frac{dy}{dt}=e^{t}+1.
Avaliando em t=0:
y(0)=e^{0}+0=1,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=e^{0}+1=1+1=2.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais em (x(0),y(0))=(1,1).
  • Usando \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x+3x^{2}y, substituindo x=1 e y=1:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,1)} = 2\cdot 1 + 3\cdot 1^{2}\cdot 1 = 2+3=5.
  • Usando \dfrac{\partial f}{\partial y}=1+x^{3}, substituindo x=1:
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,1)} = 1 + 1^{3} = 1+1=2.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia e calcular \dfrac{df}{dt} em t=0.
  • A fórmula é
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
  • Avaliando em t=0 com os valores encontrados:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}\big|_{(1,1)}=5,
    • \dfrac{dx}{dt}\big|_{t=0}=0,
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}\big|_{(1,1)}=2,
    • \dfrac{dy}{dt}\big|_{t=0}=2.
  • Substituindo:
\frac{df}{dt}\Big|_{t=0}=5\cdot 0 + 2\cdot 2 = 0 + 4 = 4.

Resposta

4

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