[1,5] Considere a função f(x, y)=x^{2}+y+x^{3} y. Sabendo-se que x(t)=\cos (2 t) e y(t)= e^{t}+t, use a regra da cadeia para obter o valor de \frac{d f}{d t} quando t=0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função dada é f(x,y)=x^{2}+y+x^{3}y.
As curvas são x(t)=\cos(2t) e y(t)=e^{t}+t.
O que se pede: usar a regra da cadeia para obter o valor de \dfrac{df}{dt} no instante t=0.
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia para funções de duas variáveis compostas por uma variável t.
Aqui f é função de duas variáveis x e y, mas x e y dependem de t. Logo, f depende de t indiretamente por meio de x(t) e y(t).
A regra da cadeia diz que a derivada de f em relação a t é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das variáveis internas: