Seja
uma função tal que
e
, quaisquer que sejam
. Prove que:
(a)
;
(b)
ou
;
(c) ou
para todo
ou
para todo
.
(a)
(b)
(c) ou
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz para quaisquer
as propriedades de aditividade
e de multiplicatividade
O conteúdo é o de “endomorfismo de anel” em
. Para resolver, usaremos indução para inteiros, depois estenderemos a racionais por aditividade e multiplicatividade.
Passo 2
Para provar
, basta usar aditividade com
:
Subtraindo
de ambos os lados vem
Passo 3
Para
, use multiplicatividade com
:
Logo
Passo 4
Caso
: por aditividade e indução mostra-se primeiro que, para todo inteiro
,
Então, para qualquer racional
com
, aplicamos aditividade em
(
vezes) para obter
Mas
, logo
. Como
, segue
para todo racional. Portanto, se
, então
para todo
.
Passo 5
Caso
: de novo, por aditividade e indução vem para inteiro
e para
obtém-se
pela propriedade de inverso aditivo. Agora, para
, use multiplicatividade em
para achar
Finalmente,
Logo, se
, então
para todo
.
Resposta
(a)
.
(b) ou
.
(c) Se , então
para todo
; se
, então
para todo
.
(b)
(c) Se