Seja f: Q Q uma função tal que f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x cdot y)=f(x) cdot f(y), quaisquer que sejam x, y in Q. Prove que:
(a) f(0)=0;
(b) f(1)=0 ou f(1)=1;
(c) ou f(x)=0 para todo x in Q ou f(x)=x para todo x in Q.

Passo 1

O enunciado define uma função fcolon QtoQ que satisfaz para quaisquer x,yinQ as propriedades de aditividade
f(x+y)=f(x)+f(y)
e de multiplicatividade
f(xy)=f(x),f(y)
O conteúdo é o de “endomorfismo de anel” em Q. Para resolver, usaremos indução para inteiros, depois estenderemos a racionais por aditividade e multiplicatividade.

Passo 2

Para provar f(0)=0, basta usar aditividade com x=y=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
Subtraindo f(0) de ambos os lados vem
f(0)=0

Passo 3

Para f(1), use multiplicatividade com x=y=1:
f(1)=f(1cdot1)=f(1),f(1)=l(f(1)r)^2
Logo
f(1),l(f(1)-1r)=0 Longrightarrow f(1)=0ou f(1)=1

Passo 4

Caso f(1)=0: por aditividade e indução mostra-se primeiro que, para todo inteiro n,
f(n)=n,f(1)=0
Então, para qualquer racional x=tfracab com bneq0, aplicamos aditividade em x+cdots+x ( b vezes) para obter
fl(bcdot tfracabr)=b,fl(tfracabr) ;Longrightarrow; f(a)=b,fl(tfracabr)
Mas f(a)=a,f(1)=0, logo b,f(a/b)=0. Como bneq0, segue
fl(tfracabr)=0
para todo racional. Portanto, se f(1)=0, então f(x)=0 para todo xinQ.

Passo 5

Caso f(1)=1: de novo, por aditividade e indução vem para inteiro n>=0
f(n)=n,f(1)=n,
e para n<0 obtém-se f(n)=n pela propriedade de inverso aditivo. Agora, para x=tfracab, use multiplicatividade em ncdot1n=1 para achar
1=f(1)=fl(bcdottfrac1br) =f(b),fl(tfrac1br)=b,fl(tfrac1br) ;Longrightarrow; fl(tfrac1br)=tfrac1b
Finalmente,
fl(tfracabr)=f(a),fl(tfrac1br) =acdottfrac1b=tfracab
Logo, se f(1)=1, então f(x)=x para todo xinQ.

Resposta

(a) f(0)=0.
(b) f(1)=0 ou f(1)=1.
(c) Se f(1)=0, então f(x)=0 para todo xinQ; se f(1)=1, então f(x)=x para todo xinQ.

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