Estude as convergências das sequências (an) :
n^nn!

Passo 1

Neste exercício vamos estudar a convergência da sequência an = n^nn!. O conteúdo é de análise de sequências e vamos usar o critério da razão. Precisamos calcular o quociente entre termos consecutivos e analisar seu limite.

Passo 2

Calcule o quociente an+1an. Usando
an+1an = (n+1)^n+1/(n+1)!n^n/n! = (n+1)^n+1(n+1),n!cdotn!n^n = (n+1)^nn^n = (1+1n)^n

Passo 3

Analise o limite do quociente:
limntoinfty (1+1n)^n = e
Como esse limite é maior do que 1, o critério da razão garante que a sequência não converge para um valor finito e, além disso, é estritamente crescente para n suficientemente grande.

Passo 4

Concluindo, uma sequência estritamente crescente cujo quociente entre termos consecutivos tende a um valor maior do que 1 diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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