Estude cres/decres e pontos de \max / \min locais
f(x)=\ln \left(4-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de crescimento e decrescimento de
f(x)=\ln\bigl(4-x^{2}\bigr)
e identificar os pontos de máximo ou mínimo locais. O conteúdo necessário é o teste da derivada:
1. determinar o domínio de f,
2. calcular f'(x),
3. achar pontos críticos ( f'=0 ou f' indefinida),
4. analisar o sinal de f' para decidir onde f cresce ou decresce,
5. usar a variação de f' para classificar os extremos locais.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo 4 - x^{2}>0, o que dá
\mathcal{D} = \{x\in\mathbb{R}\mid -2<x<2\} = (-2,2).
Em seguida, usamos a regra da cadeia para derivar
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(4-x^{2}\bigr) =\frac{1}{4-x^{2}}\cdot(-2x) =-\frac{2x}{4-x^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f'(x) é indefinida dentro do domínio.
1. f'(x)=0 quando -2x=0, ou seja x=0.
2. f'(x) é indefinida em x=\pm2, mas esses pontos não pertencem ao domínio.
Logo, o único ponto crítico em (-2,2) é x=0.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=-2x/(4-x^{2}). No intervalo (-2,2) o denominador 4-x^{2} é sempre positivo. Então o sinal de f'(x) depende de -2x:
  • Para -2<x<0, temos x<0 \Rightarrow -2x>0 \Rightarrow f'(x)>0.
  • Para 0<x<2, temos x>0 \Rightarrow -2x<0 \Rightarrow f'(x)<0.
Isso mostra que f é crescente em (-2,0) e decrescente em (0,2).

Passo 5

Como f cresce até x=0 e depois decresce, em x=0 ocorre um máximo local. O valor da função ali é
f(0)=\ln\bigl(4-0^{2}\bigr)=\ln(4).
Não há pontos de mínimo local no domínio, pois f\to-\infty quando x\to\pm2.

Resposta

f é crescente em (-2,0) e decrescente em (0,2). Há um máximo local em
x=0,\quad f(0)=\ln(4),
e não existem mínimos locais.

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