Questão 2. (1,5 ponto) Encontre uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes cuja a solução geral seja c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{3 x}+e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a solução geral
y(x)=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{3x}+e^{x}
e pede uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes que tenha essa solução. Vamos reconhecer a parte homogênea ( c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{3x}) e a parte particular ( e^{x}), construir a equação homogênea e depois determinar o termo não homogêneo a partir da solução particular.

Passo 2

Como a parte homogênea é
y_{h}(x)=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{3x},
as raízes da equação característica são r_{1}=2 e r_{2}=3. Logo, o polinômio característico é
(r-2)(r-3)=0.

Passo 3

Expandindo o polinômio característico obtemos
r^{2}-5r+6=0,
que corresponde à equação diferencial homogênea
y''-5y'+6y=0.

Passo 4

Para incorporar a parte particular y_{p}(x)=e^{x}, verificamos que r=1 não é raiz da característica, então tentamos
y_{p}(x)=A\,e^{x}.
Calculando
y_{p}'=A\,e^{x},\quad y_{p}''=A\,e^{x},
substituímos em y''-5y'+6y:
y_{p}''-5y_{p}'+6y_{p} =Ae^{x}-5Ae^{x}+6Ae^{x} =(1-5+6)A\,e^{x} =2A\,e^{x}.
Queremos que y_{p}=e^{x} seja solução particular, ou seja, A=1 e o termo não homogêneo seja 2e^{x}.

Resposta

y''-5y'+6y=2\,e^{x}.

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