Questão 2. (1,5 ponto) Encontre uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes cuja a solução geral seja
.
Passo 1
O enunciado dá a solução geral
e pede uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes que tenha essa solução. Vamos reconhecer a parte homogênea (
) e a parte particular (
), construir a equação homogênea e depois determinar o termo não homogêneo a partir da solução particular.
Passo 2
Como a parte homogênea é
as raízes da equação característica são
e
. Logo, o polinômio característico é
Passo 3
Expandindo o polinômio característico obtemos
que corresponde à equação diferencial homogênea
Passo 4
Para incorporar a parte particular
, verificamos que
não é raiz da característica, então tentamos
Calculando
substituímos em
:
Queremos que
seja solução particular, ou seja,
e o termo não homogêneo seja
.