Estude a derivabilidade das seguintes funções, em seus respectivos domínios:
f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, definida pela regra:
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & \text { se } x \leq 0 \\\ x, & \text { se } x \geq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases} x^{2}, & \text{se }x\le 0,\\\ x, & \text{se }x\ge 0. \end{cases}
Queremos verificar onde f\] é derivável em todo o seu domínio. Para isso usaremos o fato de que uma função peça-por-peça é derivável em cada ramo onde é dada por uma fórmula suave, e resta checar o ponto de quebra \(x=0.

Passo 2

Para x<0, f(x)=x^{2} é uma função polinomial, logo derivável, com derivada
f'(x)=2x,\quad x<0.
Para x>0, f(x)=x é também polinomial, logo derivável, com
f'(x)=1,\quad x>0.

Passo 3

Antes de estudar a derivabilidade em x=0, verificamos a continuidade aí. Temos
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}x^{2}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x=0,
além de f(0)=0. Como todos coincidem, f é contínua em x=0.

Passo 4

Para verificar derivabilidade em 0, calculamos as derivadas laterais:
f'_{-}(0) =\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0^-}\frac{x^{2}-0}{x} =\lim_{x\to0^-}x =0,
f'_{+}(0) =\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0^+}\frac{x-0}{x} =1.
Como f'_{-}(0)\neq f'_{+}(0), a derivada de f não existe em x=0.

Passo 5

Concluímos que f\) é derivável para todo \(x\neq 0\), com \[f'(x)= \begin{cases} 2x, & x<0,\\\\ 1, & x>0, \end{cases}
e que f\] não é derivável em \(x=0, pois as derivadas laterais são diferentes.

Resposta

A função f é derivável em \mathbb{R}\setminus\{0\} e não é derivável em x=0.

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