Estude a derivabilidade das seguintes funções, em seus respectivos domínios:
f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, definida pela regra: f(x)=\sqrt[3]{x};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a derivabilidade da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt[3]{x}.
O conteúdo é diferenciabilidade. Vamos usar a regra de potência para x\neq0 e a definição de derivada em x=0.

Passo 2

Para x\neq0, escrevemos
f(x)=x^{\tfrac{1}{3}}.
Pela regra de derivação de potências, para qualquer real p\neq0, (x^p)'=p\,x^{p-1}. Aqui p=\tfrac13, logo para x\neq0:
f'(x)=\tfrac{1}{3}\,x^{\tfrac{1}{3}-1} =\tfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{3\,x^{2/3}}.
Isso mostra que a derivada existe e é finita em todo x\neq0.

Passo 3

Em x=0, usamos a definição
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{1/3}}{h} =\lim_{h\to0}h^{-\tfrac{2}{3}}.
Como h^{-\tfrac{2}{3}}\to+\infty quando h\to0, esse limite não existe finito. Portanto f não é derivável em 0.

Resposta

A função f(x)=\sqrt[3]{x} é derivável em \mathbb{R}\setminus\{0\} e não derivável em 0. Em x\neq0 vale
f'(x)=\frac{1}{3\,x^{2/3}}.

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