Usando a definição de derivada, mostre que se:
f(x)=\arcsin x \Longrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},(|x|<1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\arcsin x usando a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Vamos usar a identidade de diferença de senos e o limite fundamental
\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença e definimos
A = \arcsin(x+h),\quad B = \arcsin(x),
de modo que
f(x+h)-f(x)=A-B \quad\text{e}\quad \sin A = x+h,\;\sin B = x.
Assim
\sin A-\sin B=(x+h)-x=h.

Passo 3

Aplicamos a identidade
\sin A-\sin B =2\cos\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\,\sin\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr) =h,
de onde
\sin\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr) =\frac{h}{2\cos\bigl(\frac{A+B}{2}\bigr)}.
Quando h\to0, temos A\to B=\arcsin(x) e, portanto,
\cos\Bigl(\tfrac{A+B}{2}\Bigr)\;\longrightarrow\;\cos\bigl(\arcsin(x)\bigr) =\sqrt{1-x^2}.

Passo 4

Reescrevemos
\frac{A-B}{h} =\frac{2\sin\bigl(\frac{A-B}{2}\bigr)}{h}\;\frac{A-B}{2\sin\bigl(\frac{A-B}{2}\bigr)}.
No limite h\to0:
  • \displaystyle \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\frac{A-B}{2}}\to1
  • e
\frac{2\sin\bigl(\frac{A-B}{2}\bigr)}{h} =\frac{2}{h}\,\frac{h}{2\cos(\frac{A+B}{2})} =\frac{1}{\cos(\frac{A+B}{2})} \longrightarrow\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
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f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad |x|<1.

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