Partindo diretamente da definição de derivada, mostre que se:
f(x)=\log _{a} x \Longrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln a}, \quad x>0, \quad a>0 .

Passo 1

O enunciado pede para derivar
f(x)=\log_{a}x
usando a definição de derivada.
O conteúdo envolve a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
as propriedades do logaritmo (mudança de base e diferença de logaritmos) e o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}(x)}{h}.

Passo 3

Usamos a mudança de base
\log_{a}y=\frac{\ln y}{\ln a},
para transformar:
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\frac{\ln(x+h)}{\ln a}-\frac{\ln x}{\ln a}}{h} =\frac{1}{\ln a}\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}.

Passo 4

Aplique a diferença de logaritmos:
\ln(x+h)-\ln x =\ln\!\bigl(\tfrac{x+h}{x}\bigr) =\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr).
Assim
f'(x) =\frac{1}{\ln a}\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr)}{h}.

Passo 5

Faça a troca de variável
u=\frac{h}{x},
então h=xu e h\to0 implica u\to0. Logo
\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr)}{h} =\frac{\ln(1+u)}{xu} =\frac{1}{x}\,\frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto
f'(x) =\frac{1}{\ln a}\,\frac{1}{x}\,\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 6

Conhecemos o limite
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Substituindo, vem
f'(x)=\frac{1}{x\ln a}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\ln a}.

Exercícios relacionados