Estude a derivabilidade das seguintes funções, em seus respectivos domínios:
f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, definida pela regra:
f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&\text{se }x\neq0,\\[6pt] 0,&\text{se }x=0, \end{cases}
e pede para estudar onde ela é diferenciável e, se for o caso, determinar f'(x). Vamos usar as regras de derivação para x\neq0 e a definição de derivada no ponto 0.]

Passo 2

Para x\neq0, f(x)=x^2\sin(1/x) é produto de duas funções deriváveis ( x^2 e \sin(1/x)). Pela regra do produto e da cadeia, temos
f'(x) =2x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr) + x^2\cdot\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac1{x^2}\bigr) =2x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)-\cos\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 3

No ponto x=0, usamos a definição
f'(0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin\bigl(\tfrac1h\bigr)-0}{h} =\lim_{h\to0}h\sin\bigl(\tfrac1h\bigr).
Como \bigl|h\sin(\tfrac1h)\bigr|\le|h| e \lim_{h\to0}|h|=0, segue que
f'(0)=0.

Passo 4

Concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}. A derivada é
f'(x)= \begin{cases} 2x\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&x\neq0,\\[6pt] 0,&x=0. \end{cases}]

Resposta

A função f é diferenciável em todo \mathbb{R} e
f'(x)= \begin{cases} 2x\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&x\neq0,\\[6pt] 0,&x=0. \end{cases}]

Exercícios relacionados