Usando a definição de derivada, mostre que se:
f(x)=\operatorname{arccos} x \Longrightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},(|x|<1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de derivada, que para
f(x)=\operatorname{arccos} x
temos
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad |x|<1.
O conteúdo principal é derivada de função inversa e diferenciação implícita, usando também a derivada de \cos x.

Passo 2

Introduzimos a variável intermediária
y = f(x) = \operatorname{arccos} x,
o que equivale a
x = \cos y,
com y\in(0,\pi) para |x|<1. A ideia é derivar implicitamente essa relação.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados de x = \cos y em relação a x, usamos que \frac{d}{dx}x=1 e, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos y\bigr) = -\sin y\;\frac{dy}{dx}.
Logo, obtemos a equação
1 = -\sin y \,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}.
Mas \frac{dy}{dx}=f'(x), pois y=f(x).

Passo 5

Falta escrever \sin y em termos de x. Como \cos y = x e y\in(0,\pi), vale
\sin y = \sqrt{1-\cos^2y} = \sqrt{1-x^2}.
Substituindo em \frac{dy}{dx}, vem
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad |x|<1.

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