Usando a definição de derivada, mostre que se:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, a partir da definição de derivada, que para
temos
O conteúdo principal é derivada de função inversa e diferenciação implícita, usando também a derivada de
.
Passo 2
Introduzimos a variável intermediária
o que equivale a
com
para
. A ideia é derivar implicitamente essa relação.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados de
em relação a
, usamos que
e, pela regra da cadeia,
Logo, obtemos a equação
Passo 4
Isolando
, temos
Mas
, pois
.
Passo 5
Falta escrever
em termos de
. Como
e
, vale
Substituindo em
, vem