• Estude a diferenciabilidade da função
e^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos estudar onde é diferenciável (em ). Para isso, vamos usar que composições de funções são , e depois checar o comportamento na fronteira do disco .

Passo 2

Na região aberta (x,y)mid x^2+y^2<1, definimos
r^2=x^2+y^2, h(t)=e^1/(t-1), t<1,
então f(x,y)=h(r^2). Como r^2 é C^infty e h é C^infty em (-infty,1), a composição f(x,y)=h(r^2) é C^infty dentro do disco.

Passo 3

Na região externa (x,y)mid x^2+y^2>1, temos f(x,y)equiv0, ou seja, é função constante ali, logo também C^infty.

Passo 4

Falta verificar diferenciabilidade na fronteira x^2+y^2=1. Primeiro a continuidade: ao aproximar por dentro, rto1^- faz
1r^2-1to -infty Longrightarrow e^1/(r^2-1)to0,
que coincide com o valor de f por fora (zero). Então f é contínua na fronteira.

Passo 5

Agora as derivadas parciais laterais na fronteira. Para r<1, calculamos por exemplo
partial fpartial x =ddxl(e^1/(r^2-1)r) =e^1/(r^2-1)cdotddx!l(tfrac1r^2-1r) =-e^1/(r^2-1);2x(r^2-1)^2
Ou seja,
partial fpartial x(x,y) =-2x(x^2+y^2-1)^2, e^1x^2+y^2-1

Passo 6

Ao aproximar rto1^-, o numerador tende a pm2x finito e o denominador (r^2-1)^2to0, mas o fator exponencial
e^1/(r^2-1)=e^-1/(1-r^2)
vai a zero muito mais rápido que qualquer potência de (1-r^2). Logo
limrto1^-partial fpartial x(x,y)=0,
que é exatamente a derivada parcial por fora (já que ali fequiv0). O mesmo vale para partial f/partial y.

Passo 7

Tendo mostrado que as derivadas parciais de primeira ordem se igualam pelo interior e exterior na fronteira e são contínuas, é . Repetindo o argumento para derivadas de ordem superior (cada derivada traz fatores de potências de e expoentes que vão a zero mais rápido que qualquer potência), concluímos que é na verdade em toda .

Resposta

A função é diferenciável de todas as ordens em , ou seja, .

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