O fluxo de calor na coroa solar obedece a equação
nabla cdot(k nabla T)=0
onde T=T(r) é um campo escalar que denota a temperatura. Aqui k propto T^5 / 2 denota a condutividade térmica. Admitindo-se que T(r) propto r^n, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por T=T0(rr0)^p, onde r0 é uma constante. Determine p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela fala sobre o fluxo de calor na coroa solar e nos dá uma equação que descreve esse fluxo:
nabla cdot(k nabla T)=0
Aqui, T(r) representa a temperatura em função da distância r do sol, e k é a condutividade térmica, que depende da temperatura de acordo com k propto T^5/2 .
A tarefa é mostrar que a solução para essa equação de fluxo de calor pode ser escrita como:
T = T0(rr0)^p
onde r0 é uma constante, e descobrir o valor de p .
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a temperatura T(r) varia com r de forma proporcional a uma potência de r :
T(r) propto r^n
Na solução que queremos, T(r) = T0(rr0)^p , o expoente p é o que precisamos determinar. Para facilitar os cálculos, vamos escrever T(r) dessa forma:
T(r) = T0(rr0)^p

Passo 3

Sabemos que a condutividade térmica k depende da temperatura T como k propto T^5/2 . Assim, podemos escrever:
k = k0 T^5/2
Substituindo T(r) :
k = k0 (T0(rr0)^p)^5/2 = k0 T0^5/2 (rr0)^5p2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a equação de fluxo de calor dada:
nabla cdot(k nabla T) = 0
Considerando que a temperatura depende apenas de r , e assumindo simetria esférica, a equação se simplifica para:
1r^2 ddr(r^2 k dTdr) = 0
Isso significa que a expressão dentro da derivada é uma constante. Para simplificar, vamos considerar que essa constante é zero, o que faz sentido fisicamente para um sistema em equilíbrio térmico.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a derivada de T em relação a r :
dTdr = T0 p (rr0)^p - 1 cdot 1r0 = T0 pr0 (rr0)^p - 1
Agora, multiplicamos por k :
k dTdr = k0 T0^5/2 (rr0)^5p2 cdot T0 pr0 (rr0)^p - 1 = k0 T0^7/2 pr0 (rr0)^7p2 - 1

Passo 6

Agora, multiplicamos por :
Simplificando os termos de :
Então:

Passo 7

Como a derivada em relação a r dessa expressão deve ser igual a zero, a única forma de isso acontecer é se o expoente de r for igual a -1, para que ao derivar, a potência zere a expressão. Assim:
1 + 7p2 = -1
Resolvendo para p :
7p2 = -2 implies p = -47

Resposta

O valor de p que satisfaz a equação de fluxo de calor é:
p = -47

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