O fluxo de calor na coroa solar obedece a equação
onde
é um campo escalar que denota a temperatura. Aqui
denota a condutividade térmica. Admitindo-se que
, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por
, onde
é uma constante. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela fala sobre o fluxo de calor na coroa solar e nos dá uma equação que descreve esse fluxo:
Aqui,
representa a temperatura em função da distância
do sol, e
é a condutividade térmica, que depende da temperatura de acordo com
.
A tarefa é mostrar que a solução para essa equação de fluxo de calor pode ser escrita como:
onde
é uma constante, e descobrir o valor de
.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a temperatura
varia com
de forma proporcional a uma potência de
:
Na solução que queremos,
, o expoente
é o que precisamos determinar. Para facilitar os cálculos, vamos escrever
dessa forma:
Passo 3
Sabemos que a condutividade térmica
depende da temperatura
como
. Assim, podemos escrever:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a equação de fluxo de calor dada:
Considerando que a temperatura depende apenas de
, e assumindo simetria esférica, a equação se simplifica para:
Isso significa que a expressão dentro da derivada é uma constante. Para simplificar, vamos considerar que essa constante é zero, o que faz sentido fisicamente para um sistema em equilíbrio térmico.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 6
Agora, multiplicamos por
:
Simplificando os termos de
:
Então:
Passo 7
Como a derivada em relação a
dessa expressão deve ser igual a zero, a única forma de isso acontecer é se o expoente de
for igual a -1, para que ao derivar, a potência zere a expressão. Assim:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação de fluxo de calor é: