Verifique quais das funções abaixo é diferenciável em ( 0,0 ) ( Em todos os casos, f está definida para (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0 :
f(x, y)=x y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado define
f(x,y) = dfracx,y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0).
Para isso vamos (1) calcular as derivadas parciais em (0,0) e (2) usar a definição de diferenciabilidade, que exige
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) - l[f(0,0) + fx(0,0)x + fy(0,0)yr]raizx^2+y^2 = 0
]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) por definição de limite:
fx(0,0) = limhto 0f(h,0)-f(0,0)h = limhto 00-0h = 0,
fy(0,0) = limkto 0f(0,k)-f(0,0)k = limkto 00-0k = 0
Logo o candidato a diferencial linear em (0,0) é L(x,y)=0.

Passo 3

Pela definição, f será diferenciável em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-0raizx^2+y^2 = 0
Para estudar esse limite, usemos coordenadas polares, x=rcostheta, y=rsintheta.

Passo 4

Em polares, para (x,y)neq(0,0):
f(x,y) = (rcostheta),(rsintheta)^2r^2 = rcostheta,sin^2theta
Então
f(x,y)raizx^2+y^2 = rcostheta,sin^2thetar = costheta,sin^2theta
Esse valor não depende de r e varia com theta. Em particular, não tende a 0 de forma uniforme quando (x,y)to(0,0). Portanto a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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