• Estude a diferenciabilidade da função
f(x, y)= e^(1x^2+y^2-1) & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Beleza, o exercício pede para estudar a diferenciabilidade da função
f(x,y)= e^1x^2+y^2-1,&se x^2+y^2<1, 0&se x^2+y^2>=1
Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis definidas por partes.
O que vamos precisar:
  • Saber que composição de funções suaves é suave (portanto diferenciável).
  • Saber que função constante é diferenciável.
  • Usar a definição precisa de diferenciabilidade num ponto (a,b): existe uma aplicação linear L (a matriz jacobiana) tal que
f((a,b)+(h,k))-f(a,b)-L(h,k)=ol(raizh^2+k^2r)
  • Fazer vértice nas três regiões: interior do disco ( x^2+y^2<1), exterior ( x^2+y^2>1) e na fronteira ( x^2+y^2=1).

Passo 2

Interior do disco ( x^2+y^2<1):
Aqui a fórmula é
f(x,y)=exp!l(tfrac1x^2+y^2-1r)
Cada pedaço dentro desse disco é composição de
(x,y)mapsto x^2+y^2,
,tmapsto t-1,
,umapsto1/u
e exp. Todas são C^infty, logo a composição é C^infty. Conclusão: em qualquer ponto com x^2+y^2<1, f é infinitamente diferenciável, em particular diferenciável.

Passo 3

Exterior do disco ( x^2+y^2>1):
Ali f(x,y)=0, constante. Função constante é C^infty e, portanto, diferenciável em todos esses pontos.

Passo 4

Fronteira ( ):
  1. Continuidade: se com ,
    • vindos de fora, sempre , óbvio que vão para ;
    • vindos de dentro, temos e , então .
      Logo .
  2. Derivada total nula:
    Seja com . Queremos mostrar que
  • Se manda a para fora do disco, e o quociente é zero.
  • Se manda para dentro do disco, seja
    . Então
 para \(\|(h,k)\|<1\). Como \(r^2<1\), temos \(r^2-1<0\) e  
 Assim
 E é clássico que, quando \(t\to0^+\), \(e^{-1/(3t)}/t\to0\) (a exponencial “domina” qualquer \(1/t\)).  
Logo em qualquer direção esse quociente vai a .
Isso mostra que é diferenciável na fronteira com diferencial (jacobiana) nula.

Resposta

A função f é diferenciável em todo R^2.

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