Conteúdo: diferenciabilidade de funções de duas variáveis definidas por partes.
O que vamos precisar:
Saber que composição de funções suaves é suave (portanto diferenciável).
Saber que função constante é diferenciável.
Usar a definição precisa de diferenciabilidade num ponto (a,b): existe uma aplicação linear L (a matriz jacobiana) tal que
f((a,b)+(h,k))-f(a,b)-L(h,k)=ol(raizh^2+k^2r)
Fazer vértice nas três regiões: interior do disco (x^2+y^2<1), exterior (x^2+y^2>1) e na fronteira (x^2+y^2=1).
Passo 2
Interior do disco (x^2+y^2<1):
Aqui a fórmula é
f(x,y)=exp!l(tfrac1x^2+y^2-1r)
Cada pedaço dentro desse disco é composição de (x,y)mapsto x^2+y^2, ,tmapsto t-1, ,umapsto1/u
e exp. Todas são C^infty, logo a composição é C^infty. Conclusão: em qualquer ponto com x^2+y^2<1, f é infinitamente diferenciável, em particular diferenciável.
Passo 3
Exterior do disco (x^2+y^2>1):
Ali f(x,y)=0, constante. Função constante é C^infty e, portanto, diferenciável em todos esses pontos.
Passo 4
Fronteira ():
Continuidade: se com ,
vindos de fora, sempre , óbvio que vão para ;
vindos de dentro, temos e , então .
Logo .
Derivada total nula:
Seja com . Queremos mostrar que
Se manda a para fora do disco, e o quociente é zero.
Se manda para dentro do disco, seja . Então
para \(\|(h,k)\|<1\). Como \(r^2<1\), temos \(r^2-1<0\) e
Assim
E é clássico que, quando \(t\to0^+\), \(e^{-1/(3t)}/t\to0\) (a exponencial “domina” qualquer \(1/t\)).
Logo em qualquer direção esse quociente vai a .
Isso mostra que é diferenciável na fronteira com diferencial (jacobiana) nula.