mostrar que
lim x 0 x^2 sin (1x)=0 e lim x 0 x^2 sin x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites
limxto 0x^2sinl(tfrac1xr) e limxto 0x^2sin x
usando conhecimentos de limites e, em particular, o teorema do confronto (ou desigualdade de aperto) e o fato de que sin é função limitada e contínua.

Passo 2

Para mostrar
limxto 0x^2sinl(tfrac1xr)=0
observe que, para todo xneq0, vale
-1<= sinl(tfrac1xr)<= 1
Multiplicando por x^2>=0, obtemos
-,x^2;<=;x^2sinl(tfrac1xr);<=;x^2
Como
limxto0(-x^2)=0 e limxto0x^2=0,
pelo teorema do confronto segue que
limxto 0x^2sinl(tfrac1xr)=0

Passo 3

Para
limxto 0x^2sin x,
podemos usar a desigualdade lvertsin xrvert<= 1 ou até lvertsin xrvert<=lvert xrvert. Por exemplo,
llvert x^2sin xrrvert <= x^2cdotlvert xrvert = lvert xrvert^3
Como limxto0lvert xrvert^3=0, pelo confronto concluímos
limxto 0x^2sin x=0

Resposta

limxto 0x^2sinl(tfrac1xr)=0 e limxto 0x^2sin x=0

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