Sejam k um inteiro positivo e a um número real.Mostre que lim x a x^k-a^kx-a=k a^k-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to a x^k-a^kx-a,
onde k é um inteiro positivo e a é um número real. O que vamos usar é a fatoração da diferença de potências e a continuidade das funções polinomiais para avaliar o limite.

Passo 2

Lembrando a fatoração clássica, para inteiros k>=1 vale
x^k-a^k = (x - a)l(x^k-1+x^k-2a+cdots +x,a^k-2+a^k-1r)
Portanto, para xneq a,
x^k-a^kx-a = x^k-1+x^k-2a+cdots +x,a^k-2+a^k-1

Passo 3

Agora aplicamos o limite termo a termo, usando que cada monômio x^m é contínuo:
limxto al(x^k-1+x^k-2a+cdots +x,a^k-2+a^k-1r) = a^k-1+a^k-1+cdots +a^k-1

Passo 4

No somatório acima aparecem exatamente k parcelas iguais a a^k-1. Logo,
a^k-1+a^k-1+cdots +a^k-1 = k,a^k-1

Resposta

limx a x^k-a^kx-a = k,a^k-1

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