Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=llll1x y, & se x neq 0 & e & y neq 0 0, & se x=0 & ou & y=0 ; P0=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
e pede para estudar a diferenciabilidade de . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade (que exige, em particular, continuidade) e eventualmente calcular as derivadas parciais em .]

Passo 2

Relembrando: f é diferenciável em P0 se existe uma transformação linear L:R^2toR tal que, para h=(h1,h2)to(0,0),
f(P0+h)=f(P0)+L(h)+o(|h|)
Em particular, isso implica que lim(x,y)to P0f(x,y)=f(P0), ou seja, f deve ser contínua em P0.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em (0,0). Tomando a reta y=xneq0, temos
f(x,x)=1xcdot x=1x^2;longrightarrow;+infty quando xto0
Logo o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe (é não–finito), de modo que f não é contínua em P0.

Passo 4

Como diferenciabilidade implica continuidade, a falha de continuidade em (0,0) já basta para concluir que f não é diferenciável em P0. Para ilustrar que isso ocorre apesar de existirem derivadas parciais, calculemos estas em (0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0
Mesmo com partialxf(0,0)=partialyf(0,0)=0, a falta de continuidade impede que f seja diferenciável.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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