Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para estudar a diferenciabilidade de . Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade (que exige, em particular, continuidade) e eventualmente calcular as derivadas parciais em .]
Passo 2
Relembrando: f é diferenciável em P0 se existe uma transformação linear L:R^2toR tal que, para h=(h1,h2)to(0,0),
f(P0+h)=f(P0)+L(h)+o(|h|)
Em particular, isso implica que lim(x,y)to P0f(x,y)=f(P0), ou seja, f deve ser contínua em P0.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em (0,0). Tomando a reta y=xneq0, temos
f(x,x)=1xcdot x=1x^2;longrightarrow;+infty quando xto0
Logo o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe (é não–finito), de modo que f não é contínua em P0.
Passo 4
Como diferenciabilidade implica continuidade, a falha de continuidade em (0,0) já basta para concluir que fnão é diferenciável em P0. Para ilustrar que isso ocorre apesar de existirem derivadas parciais, calculemos estas em (0,0):