Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=raiz|x|(1+y^2) ; P0=(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
f(x,y)=raizlvert xrvert,(1+y^2)
no ponto genérico P0=(x0,y0).
O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, análise em regiões onde lvert xrvert é suave e verificação pelo critério de existência das derivadas parciais e pelo comportamento do quociente incremental.

Passo 2

Considere primeiro x0neq0.
Se x0>0 então lvert xrvert=x numa vizinhança de x0 e
f(x,y)=raizx,(1+y^2)=raizx,raiz1+y^2,
Como xmapstoraizx e (x,y)mapsto1+y^2 são funções C^infty em x>0, a composição é C^infty nessa região; logo f é diferenciável em todo ponto com x0>0.
Analogamente, se x0<0 então lvert xrvert=-x perto de x0 e
f(x,y)=raiz-x,raiz1+y^2,
que também é C^infty em x<0. Portanto f é diferenciável sempre que x0neq0.

Passo 3

Agora examine x0=0. Nesse caso
f(0,y0)=raiz0cdot(1+y0^2)=0
Calcule a derivada parcial em x por definição:
partial fpartial x(0,y0) =limhto0f(h,y0)-f(0,y0)h =limhto0raizlvert hrvert,(1+y0^2)h
Para h>0 o quociente vale tfracraizh,raiz1+y0^2h=(1+y0^2)^1/2/raizhto+infty, e para h<0 tende a -infty. Portanto partial f/partial x(0,y0) não existe finitamente, então f não pode ser diferenciável em nenhum ponto da reta x=0.

Resposta

A função f é diferenciável exatamente nos pontos em que x0neq0 e não é diferenciável em nenhum ponto com x0=0.

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