Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
no ponto genérico
.
O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, análise em regiões onde é suave e verificação pelo critério de existência das derivadas parciais e pelo comportamento do quociente incremental.
O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, análise em regiões onde
Passo 2
Considere primeiro
.
Se então
numa vizinhança de
e
Se
Como
e
são funções
em
, a composição é
nessa região; logo
é diferenciável em todo ponto com
.
Analogamente, se então
perto de
e
Analogamente, se
que também é
em
. Portanto
é diferenciável sempre que
.
Passo 3
Agora examine
. Nesse caso
Calcule a derivada parcial em
por definição:
Para
o quociente vale
, e para
tende a
. Portanto
não existe finitamente, então
não pode ser diferenciável em nenhum ponto da reta
.
Resposta
A função
é diferenciável exatamente nos pontos em que
e não é diferenciável em nenhum ponto com
.