Verifique cada um dos limites enunciados.
lim substackx 0 y 0 x+yx^3+y^3=+infty

Passo 1

O enunciado pede para verificar o limite
lim(x,y)to(0,0)x+yx^3+y^3=+infty
O conteúdo aqui é o de limite no plano que diverge para +infty. Vamos usar fatoração e estimativas para provar que, à medida que (x,y) se aproxima de (0,0), o valor da função cresce sem limite superior.

Passo 2

Observamos que, para (x,y) tal que x^3+y^3neq0, podemos fatorar
x^3+y^3=(x+y)l(x^2 - x y + y^2r)
Logo, sempre que x+yneq0,
x+yx^3+y^3 =x+y(x+y)l(x^2 - x y + y^2r) =1x^2 - x y + y^2

Passo 3

Para estimar o denominador note que
x^2 - x y + y^2 =tfrac12l((x-y)^2 + x^2 + y^2r) >= tfrac12,(x^2+y^2)
Portanto, para todo (x,y) perto de (0,0) em que a função esteja definida, vale
x+yx^3+y^3 =1x^2 - x y + y^2 >= 1tfrac12(x^2+y^2) =2x^2+y^2

Passo 4

Dado um número M>0, basta escolher de<a>0 tal que
x^2+y^2<2M Longrightarrow 2x^2+y^2>M
Assim, sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a, temos
x+yx^3+y^3>=2x^2+y^2>M
Isso mostra que o valor da função cresce além de qualquer M à medida que (x,y)to(0,0), provando que o limite é +infty.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)x+yx^3+y^3=+infty

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