Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar pontos de extremos locais (mínimos e máximos) e pontos de inflexão da função
Para isso vamos calcular a primeira derivada
para achar pontos críticos e usar o teste da derivada segunda
para classificação. Depois resolvemos
e analisamos mudança de concavidade para detectar inflexões.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e encontramos os pontos críticos:
Para achar pontos críticos resolvemos
Fatorando o polinômio:
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Calculamos a segunda derivada e classificamos os pontos críticos por
:
Em
:
logo
é côncava para cima e há um mínimo local em
.
Em :
Em
o que indica que o teste da segunda derivada não classifica; porém como a raiz de
tem multiplicidade 2, trata–se de um ponto de inflexão horizontal (nem mínimo nem máximo).
Passo 4
Para pontos de inflexão gerais, resolvemos
Analisando a concavidade:
- Para
: (côncava para cima). - Entre
e : (côncava para baixo). - Para
: (côncava para cima).
Assim eme a concavidade muda, caracterizando pontos de inflexão.
Os valores denesses pontos são
Resposta
Mínimo local em
Não há nenhum máximo local.
Não há nenhum máximo local.
Pontos de inflexão em
e
.