Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
f(x)=x^4-2 x^3+2 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar pontos de extremos locais (mínimos e máximos) e pontos de inflexão da função
f(x)=x^4-2x^3+2x
Para isso vamos calcular a primeira derivada f'(x) para achar pontos críticos e usar o teste da derivada segunda f''(x) para classificação. Depois resolvemos f''(x)=0 e analisamos mudança de concavidade para detectar inflexões.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e encontramos os pontos críticos:
f'(x)=4x^3-6x^2+2
Para achar pontos críticos resolvemos
4x^3-6x^2+2=0 Long<=ftrightarrow 2x^3-3x^2+1=0
Fatorando o polinômio:
2x^3-3x^2+1=(x-1)^2(2x+1)
Logo os pontos críticos são
x=1(mu<iplicidade 2) e x=-tfrac12

Passo 3

Calculamos a segunda derivada e classificamos os pontos críticos por f'':
f''(x)=ddxl(4x^3-6x^2+2r) =12x^2-12x =12x(x-1)
Em x=-tfrac12:
f''l(-tfrac12r)=12cdotl(-tfrac12r)l(-tfrac32r)=9>0,
logo f é côncava para cima e há um mínimo local em x=-tfrac12.
Em x=1:
f''(1)=12cdot1cdot0=0,
o que indica que o teste da segunda derivada não classifica; porém como a raiz de f' tem multiplicidade 2, trata–se de um ponto de inflexão horizontal (nem mínimo nem máximo).

Passo 4

Para pontos de inflexão gerais, resolvemos
f''(x)=12x(x-1)=0 Longrightarrow x=0 ou x=1
Analisando a concavidade:
  • Para x<0: f''>0 (côncava para cima).
  • Entre 0 e 1: f''<0 (côncava para baixo).
  • Para x>1: f''>0 (côncava para cima).
    Assim em x=0 e x=1 a concavidade muda, caracterizando pontos de inflexão.
    Os valores de f nesses pontos são
f(0)=0, f(1)=1-2+2=1

Resposta

Mínimo local em
l(-tfrac12,,-tfrac1116r)
Não há nenhum máximo local.
Pontos de inflexão em
l(0,,0r) e l(1,,1r).

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