Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida do campo vetorial lang<= e^-t,,e^t,,3t^2rang<= em relação a t. O conteúdo é integração de função vetorial, e vamos precisar lembrar que se trata de integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Para integrar uma função vetorial, usamos a propriedade
integral lang<= f(t),g(t),h(t)rang<=,dt = lang<= integral f(t),dt, integral g(t),dt, integral h(t),dt rang<= + C,
onde C é um vetor constante de integração.

Passo 3

Agora, integramos as duas primeiras componentes, que são exponenciais:
  • integral e^-t,dt = -e^-t + C1
  • integral e^t,dt = e^t + C2
    Aqui os C1 e C2 são partes do vetor constante de integração.

Passo 4

Em seguida, integramos a terceira componente, que é um polinômio:
integral 3t^2,dt = 3 cdot t^33 + C3 = t^3 + C3
O C3 também faz parte do vetor constante.

Passo 5

Por fim, juntamos tudo em um só vetor e escrevemos um único vetor constante de integração C = lang<= C1,C2,C3rang<=:
integral lang<= e^-t,e^t,3t^2rang<= dt = lang<= -e^-t,,e^t,,t^3 rang<= + C

Resposta

lang<= -e^-t,,e^t,,t^3 rang<= + C

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