Estude a existência de soluções das equações abaixo na forma
Passo 1
O enunciado pede uma solução de
na forma de série de potência em torno de :
Como se trata de uma EDO linear de primeira ordem cujos coeficientes e são funções analíticas em
(com raio de convergência igual a 1, devido ao ramo de em ),
sabemos pelo teorema de existência e unicidade que existe uma única solução analítica
para cada condição inicial . Nossa tarefa é achar a recorrência que determina
todos os .
Passo 2
Vamos introduzir as séries envolvidas:
Para a solução,
Para o fator , usamos a expansão binomial:
Finalmente,
Passo 3
Substituindo em
O produto em convolução gera, para cada , o coeficiente
Isolando :
onde entendemos . Note que já em vem ,
e assim determinamos recursivamente todos os a partir de .
Passo 4
Concluímos que, para cada valor arbitrário de a0=y(0), existe uma
única solução analítica em série de potência, de raio de convergência 1.
Os coeficientes an são determinados pela recorrência acima, garantindo
a existência e unicidade da solução procurada.
Resposta
A EDO admite solução em série de potência
y(x)=sumn=0^infty an,x^n, |x|<1,
cuja única liberdade é a0=y(0), e os demais an satisfazem, para n>=0,