Estude a existência de soluções das equações abaixo na forma y=sumn=0^+infty an cdot x^n
y^prime+y^primeraiz1-x^2+x^2 cdot y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução de
y' + y'raiz1-x^2 + x^2,y = 0
na forma de série de potência em torno de x=0:
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
Como se trata de uma EDO linear de primeira ordem cujos coeficientes
;1+1raiz1-x^2 e x^2 são funções analíticas em x=0
(com raio de convergência igual a 1, devido ao ramo de raiz1-x^2 em pm1),
sabemos pelo teorema de existência e unicidade que existe uma única solução analítica
para cada condição inicial y(0)=a0. Nossa tarefa é achar a recorrência que determina
todos os an.

Passo 2

Vamos introduzir as séries envolvidas:
  1. Para a solução,
y(x)=sumn=0^infty an,x^n,
y'(x)=sumn=0^infty (n+1),an+1,x^n
  1. Para o fator 1raiz1-x^2, usamos a expansão binomial:
1raiz1-x^2 =sumk=0^infty binom-tfrac12k(-1)^k,x^2k
  1. Finalmente,
x^2,y(x)=sumn=0^infty an,x^n+2 =sumn=2^infty an-2,x^n

Passo 3

Substituindo em
O produto em convolução gera, para cada , o coeficiente
Isolando :
onde entendemos . Note que já em vem ,
e assim determinamos recursivamente todos os a partir de .

Passo 4

Concluímos que, para cada valor arbitrário de a0=y(0), existe uma
única solução analítica em série de potência, de raio de convergência 1.
Os coeficientes an são determinados pela recorrência acima, garantindo
a existência e unicidade da solução procurada.

Resposta

A EDO admite solução em série de potência
y(x)=sumn=0^infty an,x^n, |x|<1,
cuja única liberdade é a0=y(0), e os demais an satisfazem, para n>=0,
an+1 =-1n+1gl[ sumk=0^lfloor n/2rfloor(n-2k+1),an-2k+1,binom-tfrac12k(-1)^k ;+; an-2 gr]
O raio de convergência desta série é 1.

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