Resolva as equações dadas:
Não esqueça de verifica a condição de existência
log (4 x-2)=log 2-log (2 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver
log(4x - 2) ;=;log 2 ;-;log(2x - 1)
O conteúdo principal é logaritmo. Vamos precisar:
  1. Verificar a condição de existência dos logaritmos.
  2. Usar a propriedade log a - log b = log!l(tfracabr).

Passo 2

Determinamos a condição de existência exigindo que os argumentos dos logaritmos sejam positivos:
4x - 2 > 0 e 2x - 1 > 0
Da primeira vem x > tfrac12 e da segunda também x > tfrac12.
Logo, o domínio é
x > tfrac12

Passo 3

Aplicamos a propriedade de subtração de logaritmos:
log 2 ;-;log(2x-1) =log!l(tfrac22x-1r)
Assim a equação vira
log(4x-2) =log!l(tfrac22x-1r)

Passo 4

Como os logaritmos são iguais e estamos no domínio válido, igualamos os argumentos:
4x - 2 = 22x - 1
Multiplicando ambos os lados por (2x-1):
(4x - 2)(2x-1) = 2
Expandindo e simplificando:
8x^2 - 8x + 2 = 2 Longrightarrow 8x^2 - 8x = 0 Longrightarrow 8x(x-1)=0
Dessa equação vêm as soluções
x=0 ou x=1

Passo 5

Verificamos no domínio x>tfrac12:
  • x=0 não satisfaz x>tfrac12, é rejeitado.
  • x=1 satisfaz x>tfrac12, é aceito.

Resposta

A única solução da equação, respeitando a condição de existência, é
x = 1

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