Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função
. Vamos usar derivada primeira para crescimento/decrescimento e derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão.
Passo 2
Calcular a derivada primeira para achar pontos críticos:
Resolver
:
Passo 3
Estudar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: escolha , → função crescente. - Para
: escolha , → função decrescente. - Para
: escolha , → função crescente again.
Passo 4
Derivar segunda vez para concavidade e ponto de inflexão:
Resolver
:
Passo 5
Estudar o sinal de
:
- Para
: → concavidade para baixo. - Para
: → concavidade para cima.
Passo 6
Calcular coordenadas de pontos notáveis:
-
(máximo local). -
(mínimo local). -
(ponto de inflexão).
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Cresce até
, decresce até , cresce depois de . - Concava para baixo até
e para cima após. - Ponto de inflexão em
. - Comportamento em
: seguindo termo dominante .
Resposta
Intervalos de crescimento:
; de decrescimento:
.
Concavidade para baixo em , concavidade para cima em
.
Ponto de inflexão em .
Máximo local em , mínimo local em
.
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão em
Máximo local em