Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
f(x)=x^33-5 x^22+6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função f(x)=tfracx^33-tfrac5x^22+6x+1. Vamos usar derivada primeira para crescimento/decrescimento e derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão.

Passo 2

Calcular a derivada primeira para achar pontos críticos:
f'(x)=ddxl(tfracx^33-tfrac5x^22+6x+1r)=x^2-5x+6
Resolver f'(x)=0:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0implies x=2 ou x=3

Passo 3

Estudar o sinal de f'(x) em cada intervalo:
  • Para x<2: escolha x=0, f'(0)=6>0 → função crescente.
  • Para 2: escolha x=2.5, f'(2.5)=2.5^2-5cdot2.5+6=-0.25<0 → função decrescente.
  • Para x>3: escolha x=4, f'(4)=16-20+6=2>0 → função crescente again.

Passo 4

Derivar segunda vez para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=ddx(x^2-5x+6)=2x-5
Resolver f''(x)=0:
2x-5=0implies x=tfrac52=2.5

Passo 5

Estudar o sinal de f''(x):
  • Para x<2.5: f''(2)<0 → concavidade para baixo.
  • Para x>2.5: f''(3)>0 → concavidade para cima.

Passo 6

Calcular coordenadas de pontos notáveis:
  • f(2)=tfrac83-10+12+1=tfrac173approx5.67 (máximo local).
  • f(3)=9-tfrac452+18+1=5.5 (mínimo local).
  • f(2.5)=tfrac15.6253-tfrac31.252+15+1approx5.5833 (ponto de inflexão).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Cresce até x=2, decresce até x=3, cresce depois de x=3.
  • Concava para baixo até x=2.5 e para cima após.
  • Ponto de inflexão em (2.5,5.5833).
  • Comportamento em xtopminfty: f(x)topminfty seguindo termo dominante x^3/3.

Resposta

Intervalos de crescimento: (2,3); de decrescimento: (2.5,∞).
Concavidade para baixo em (2.5,5.5833), concavidade para cima em (2,5.667).
Ponto de inflexão em (3,5.5).
Máximo local em , mínimo local em .

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