Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
nos quesitos:
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço qualitativo do gráfico.
Para isso vamos usar cálculo diferencial: derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço qualitativo do gráfico.
Para isso vamos usar cálculo diferencial: derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Domínio e limites:
O domínio é todo porque
O domínio é todo
Comportamento nas extremidades:
Passo 3
Cálculo de
. Escrevendo
, pela regra da cadeia:
Passo 4
Monotonicidade: como
e
, temos
para todo
. Logo,
Passo 5
Cálculo de
. Partindo de
usa-se regra do produto e cadeia para obter
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão:
– O fator é sempre negativo.
– O sinal de muda quando
, isto é, em
– O fator
– O sinal de
Para
temos
,
,
(concavidade para baixo).
Para temos
,
,
(concavidade para cima).
O ponto de inflexão é
Para
O ponto de inflexão é
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Parte de quando
.
– Decresce monotonicamente, primeiro curvando para baixo até .
– Em troca de concavidade (ponto de inflexão em
).
– Depois segue decrescendo, curvando para cima, aproximando-se de quando
.
– Parte de
– Decresce monotonicamente, primeiro curvando para baixo até
– Em
– Depois segue decrescendo, curvando para cima, aproximando-se de
Resposta
– Crescimento: nenhum (sempre decrescente).
– Decrescimento: .
– Concavidade para baixo: .
– Concavidade para cima: .
– Ponto de inflexão: .
– Gráfico qualitativo: decrescente de a
, com inflexão em
.
– Decrescimento:
– Concavidade para baixo:
– Concavidade para cima:
– Ponto de inflexão:
– Gráfico qualitativo: decrescente de