Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
f(x)=1raiz1+8 e^x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=1raiz1+8e^x
nos quesitos:
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço qualitativo do gráfico.
Para isso vamos usar cálculo diferencial: derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Domínio e limites:
O domínio é todo R porque 1+8e^x>0
Comportamento nas extremidades:
limxto -infty f(x) = 1raiz1+8cdot 0 = 1, limxto +infty f(x) = 0

Passo 3

Cálculo de f'(x). Escrevendo f(x)=(1+8e^x)^-1/2, pela regra da cadeia:
f'(x)=-tfrac12(1+8e^x)^-3/2cdot 8e^x =-4e^x,(1+8e^x)^-3/2

Passo 4

Monotonicidade: como e^x>0 e (1+8e^x)^3/2>0, temos f'(x)<0 para todo x. Logo,
f é estritamente decrescente em R é

Passo 5

Cálculo de f''(x). Partindo de
f'(x)=-4e^x,(1+8e^x)^-3/2,
usa-se regra do produto e cadeia para obter
f''(x) =-4e^x(1+8e^x)^-5/2l(1-4e^xr)

Passo 6

Concavidade e ponto de inflexão:
– O fator -4e^x(1+8e^x)^-5/2 é sempre negativo.
– O sinal de f''(x) muda quando 1-4e^x=0, isto é, em
x = -ln 4
Para x < -ln 4 temos 1-4e^x > 0, Rightarrow, f''(x) < 0 (concavidade para baixo).
Para x > -ln 4 temos 1-4e^x < 0, Rightarrow, f''(x) > 0 (concavidade para cima).
O ponto de inflexão é
l(x,yr) = l(-ln 4,; f(-ln 4)r) = l(-ln 4, tfrac1raiz3r)

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Parte de y=1 quando xto-infty.
– Decresce monotonicamente, primeiro curvando para baixo até x=-ln4.
– Em x=-ln4 troca de concavidade (ponto de inflexão em y=1/raiz3).
– Depois segue decrescendo, curvando para cima, aproximando-se de y=0 quando xto+infty.

Resposta

– Crescimento: nenhum (sempre decrescente).
– Decrescimento: R.
– Concavidade para baixo: (-infty,-ln4).
– Concavidade para cima: (-ln4,+infty).
– Ponto de inflexão: l(-ln4,tfrac1raiz3r).
– Gráfico qualitativo: decrescente de 1 a 0, com inflexão em -ln4.

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