Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
nos aspectos de domínio, interceptos, monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos usar cálculo diferencial (primeira e segunda derivadas) e análise de assíntotas para compreender o comportamento de
.
Passo 2
Determine o domínio, interceptos e assíntotas.
O denominador se anula em , cujas raízes são
e
. Portanto
O denominador se anula em
Intercepto em
: pondo
, temos
. Intercepto em
: resolve-se
, dá
(único zero).
Assíntotas verticais em e
. Para
,
Assíntotas verticais em
logo há assíntota horizontal
.
Passo 3
Calcule
e encontre intervalos de crescimento/decrescimento.
O denominador é sempre positivo no domínio. O numerador anula-se em
e
.
Analise o sinal de :
Analise o sinal de
- Para
: e produto positivo com menos sinal, . - Para
: , produto negativo com menos sinal, . - Para
e para : , produto positivo com menos sinal, .
Logo
Passo 4
Calcule
e identifique concavidade e ponto de inflexão.
A segunda derivada dá, após simplificar,
A segunda derivada dá, após simplificar,
O fator cúbico tem raiz real única
. Os sinais nos intervalos do domínio:
-
: concava para baixo. -
: concava para cima. -
: concava para baixo. -
: concava para cima.
Há um ponto de inflexão real aproximado em
. O valor de
ali é
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Assíntotas verticais:
, . - Assíntota horizontal:
. - Intercepto em
. - Ponto crítico em
com (mínimo local) e em com (máximo local no ramo entre e ). - Concavidade varia conforme
Passo 6
No ramo esquerdo (
) a curva sai de
decrescendo até mínimo em
, depois cresce até a assíntota vertical
de
ou
conforme o lado. No ramo central
decresce de
a
em
, depois continua decrescendo até
em
. No ramo direito
sai de
em
e decresce, aproximando-se de
.
Resposta
Intervalos de crescimento:
.
Intervalos de decrescimento: .
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Ponto de inflexão: .
Assíntotas verticais: ,
.
Assíntota horizontal: .
Esboço conforme descrição acima.
Intervalos de decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Esboço conforme descrição acima.