Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
f(x)=x^2x^2-x-2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=x^2x^2-x-2
nos aspectos de domínio, interceptos, monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos usar cálculo diferencial (primeira e segunda derivadas) e análise de assíntotas para compreender o comportamento de f.

Passo 2

Determine o domínio, interceptos e assíntotas.
O denominador se anula em x^2-x-2=0, cujas raízes são x=2 e x=-1. Portanto
Domínio = Rsetminus-1,,2 í
Intercepto em y: pondo x=0, temos f(0)=0. Intercepto em x: resolve-se f(x)=0, dá x=0 (único zero).
Assíntotas verticais em x=-1 e x=2. Para xtopminfty,
f(x)=x^2x^2(1 - 1/x - 2/x^2)to 1,
logo há assíntota horizontal y=1.

Passo 3

Calcule f' e encontre intervalos de crescimento/decrescimento.
f'(x) =2x(x^2-x-2)-x^2(2x-1)(x^2-x-2)^2 =-x(x+4)(x^2-x-2)^2
O denominador é sempre positivo no domínio. O numerador anula-se em x=0 e x=-4.
Analise o sinal de -x(x+4):
  • Para x<-4: x<0 e x+4<0 Rightarrow produto positivo Rightarrow com menos sinal, f'<0.
  • Para -4<x<0: x<0, x+4>0 Rightarrow produto negativo Rightarrow com menos sinal, f'>0.
  • Para 0<x<2 e para x>2: x>0, x+4>0 Rightarrow produto positivo Rightarrow com menos sinal, f'<0.
Logo
Crescente em (-4,-1)cup(-1,0), Decrescente em (-infty,-4)cup(0,2)cup(2,infty)

Passo 4

Calcule f'' e identifique concavidade e ponto de inflexão.
A segunda derivada dá, após simplificar,
f''(x) =2,(x-2)(x+1)l(x^3+6x^2+4r)(x^2-x-2)^3
O fator cúbico tem raiz real única xapprox-6,123. Os sinais nos intervalos do domínio:
  • x<-6,123: f''<0 Rightarrow concava para baixo.
  • -6,123<x<-1: f''>0 Rightarrow concava para cima.
  • -1<x<2: f''<0 Rightarrow concava para baixo.
  • x>2: f''>0 Rightarrow concava para cima.
Há um ponto de inflexão real aproximado em xapprox -6,123. O valor de f ali é
f(-6,123)approx(-6,123)^2(-6,123)^2-(-6,123)-2approx0,901

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Assíntotas verticais: x=-1, x=2.
  • Assíntota horizontal: y=1.
  • Intercepto em (0,0).
  • Ponto crítico em x=-4 com f(-4)=8/9 (mínimo local) e em x=0 com f(0)=0 (máximo local no ramo entre -1 e 2).
  • Concavidade varia conforme

Passo 6

No ramo esquerdo ( x<-1) a curva sai de yto1^- decrescendo até mínimo em (-4,8/9), depois cresce até a assíntota vertical x=-1 de +infty ou -infty conforme o lado. No ramo central (-1,2) decresce de +infty a 0 em x=0, depois continua decrescendo até -infty em xto2^-. No ramo direito (2,infty) sai de +infty em xto2^+ e decresce, aproximando-se de y=1^+.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-4,-1)cup(-1,0).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-4)cup(0,2)cup(2,infty).
Concavidade para cima: (-6,123,-1)cup(2,infty).
Concavidade para baixo: (-infty,-6,123)cup(-1,2).
Ponto de inflexão: l(-6,123,;0,901r).
Assíntotas verticais: x=-1, x=2.
Assíntota horizontal: y=1.
Esboço conforme descrição acima.

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