Estude o sinal da primeira derivada e encontre, se houver, o valor máximo da função
definida por
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar o sinal da primeira derivada de
identificar os intervalos de monotonicidade e, se existir, determinar o valor máximo de
. O conteúdo necessário envolve a regra do quociente para derivação, análise de sinais e avaliação de extremos em fronteiras do domínio.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente:
Calculando cada parte:
Logo,
Passo 3
Para
, o denominador de
é sempre positivo, então o sinal de
vem de
.
Resolvendo dá
Resolvendo
Assim:
- Para
, e : é crescente. - Para
, e : é decrescente.
Passo 4
O único ponto crítico em
é
. Avaliamos
nele e também nos extremos do domínio:
Como
sobe de
até esse ponto e depois decresce para
, esse é o valor máximo.
Resposta
A função é crescente em
e decrescente em
.
O valor máximo é
O valor máximo é