Estude o sinal da primeira derivada e encontre, se houver, o valor máximo da função f:[0,+infty) R definida por f(x)=raizxx^2+16.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da primeira derivada de
f(x)=raizxx^2+16, x>=0,
identificar os intervalos de monotonicidade e, se existir, determinar o valor máximo de f. O conteúdo necessário envolve a regra do quociente para derivação, análise de sinais e avaliação de extremos em fronteiras do domínio.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =l(raizxr)',(x^2+16)-raizx,l(x^2+16r)'(x^2+16)^2
Calculando cada parte:
l(raizxr)'=12x^-tfrac12, l(x^2+16r)'=2x
Logo,
f'(x) =12x^-tfrac12(x^2+16)-raizxcdot2x(x^2+16)^2 =x^2+162raizx-2x^tfrac32(x^2+16)^2 =-3x^2+162raizx,(x^2+16)^2

Passo 3

Para x>0, o denominador de f'(x) é sempre positivo, então o sinal de f'(x) vem de -3x^2+16.
Resolvendo -3x^2+16=0
x^2=163Longrightarrow x=4raiz3(considerando x>=0)
Assim:
  • Para 0<x<4raiz3, -3x^2+16>0 e f'(x)>0: f é crescente.
  • Para x>4raiz3, -3x^2+16<0 e f'(x)<0: f é decrescente.

Passo 4

O único ponto crítico em (0,infty) é x=tfrac4raiz3. Avaliamos f nele e também nos extremos do domínio:
f(0)=0, limxto+inftyf(x)=0,
fl(tfrac4raiz3r) =raiztfrac4raiz3l(tfrac4raiz3r)^2+16 =tfrac2raiz[4]3tfrac163+16 =2/raiz[4]3tfrac643 =2raiz[4]3cdot364 =664,raiz[4]3 =332,raiz[4]3 =3^3/432
Como f sobe de 0 até esse ponto e depois decresce para 0, esse é o valor máximo.

Resposta

A função é crescente em [0,tfrac4raiz3) e decrescente em (tfrac4raiz3,infty).
O valor máximo é
maxx>=0f(x)=fl(tfrac4raiz3r)=3^3/432

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