Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
f(x)=e^x-e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=e^x-e^3x
nos seguintes aspectos:
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço do gráfico.
Para isso vamos usar cálculo de primeira e segunda derivadas, análise de sinal e comportamento nos extremos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar extremos e monotonia:
f'(x)=ddxl(e^x-e^3xr)=e^x-3e^3x =e^xl(1-3e^2xr)
Resolvendo f'(x)=0 obtemos
1-3e^2x=0 Longrightarrow e^2x=tfrac13 Longrightarrow x=-tfrac12ln3
Como e^x>0 sempre, o sinal de f'(x) vem de 1-3e^2x:
– se x<-tfrac12ln3 então e^2x<tfrac13 e f'(x)>0 (cresce);
– se x>-tfrac12ln3 então e^2x>tfrac13 e f'(x)<0 (decresce).

Passo 3

Calculamos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x)=ddxl(e^x-3e^3xr) =e^x-9e^3x =e^xl(1-9e^2xr)
Igualando a zero:
1-9e^2x=0 Longrightarrow e^2x=tfrac19 Longrightarrow x=-ln3
Logo f''(x)>0 (côncavo para cima) se x<-ln3 e f''(x)<0 (côncavo para baixo) se x>-ln3. O ponto de inflexão é em x=-ln3, com
f(-ln3)=e^-ln3-e^3(-ln3)=tfrac13-tfrac127=tfrac827

Passo 4

Analisando zeros e limites:
f(x)=0 e^x=e^3xRightarrow e^2x=1Rightarrow x=0. Há intercepto em (0,0).
limxto-inftyf(x)=0^+-0^+=0^+ (assíntota horizontal y=0 à esquerda).
limxto+inftyf(x)=+infty - +infty=-infty.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
– Para xto-infty a curva aproxima-se de y=0 por cima.
– Cresce até x=-tfrac12ln3 (máximo local) e depois decresce, cruzando o eixo em x=0.
– Côncava para cima até x=-ln3, depois côncava para baixo para sempre.
– A partir de x=0 desce indefinidamente até -infty.

Resposta

Cresce em l(-infty,,-tfrac12ln 3r)
Decresce em l(-tfrac12ln 3,,+inftyr)
Côncavo para cima em l(-infty,,-ln 3r)
Côncavo para baixo em l(-ln 3,,+inftyr)
Ponto de inflexão em l(-ln 3,tfrac827r)
Intercepto em (0,0)
Assíntota horizontal y=0 quando xto-infty
Esboço conforme descrito no passo anterior.

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