Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
nos seguintes aspectos:
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço do gráfico.
Para isso vamos usar cálculo de primeira e segunda derivadas, análise de sinal e comportamento nos extremos.
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– concavidade e pontos de inflexão;
– esboço do gráfico.
Para isso vamos usar cálculo de primeira e segunda derivadas, análise de sinal e comportamento nos extremos.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar extremos e monotonia:
Resolvendo
obtemos
Como
sempre, o sinal de
vem de
:
– se então
e
(cresce);
– se então
e
(decresce).
– se
– se
Passo 3
Calculamos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
Igualando a zero:
Logo
(côncavo para cima) se
e
(côncavo para baixo) se
. O ponto de inflexão é em
, com
Passo 4
Analisando zeros e limites:
– dá
. Há intercepto em
.
– (assíntota horizontal
à esquerda).
– .
–
–
–
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico:
– Para a curva aproxima-se de
por cima.
– Cresce até (máximo local) e depois decresce, cruzando o eixo em
.
– Côncava para cima até , depois côncava para baixo para sempre.
– A partir de desce indefinidamente até
.
– Para
– Cresce até
– Côncava para cima até
– A partir de
Resposta
Cresce em
Decresce em
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em
Ponto de inflexão em
Intercepto em
Assíntota horizontal quando
Decresce em
Côncavo para cima em
Côncavo para baixo em
Ponto de inflexão em
Intercepto em
Assíntota horizontal
Esboço conforme descrito no passo anterior.