Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão da função
.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas (até a segunda derivada) e análise do sinal de .
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas (até a segunda derivada) e análise do sinal de
Passo 2
Calculamos a derivada de primeira ordem usando a regra de potência composta:
Passo 3
Agora obtemos a segunda derivada:
Fatorando
, fica
Passo 4
Para determinar concavidade, analisamos o sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
.
- Se
, então e : a curva é côncava para baixo. - Se
, então e : a curva é côncava para cima.
Passo 5
O ponto onde a concavidade muda (ponto de inflexão) ocorre em
, ou seja em
Para encontrar a ordenada, calculamos
Portanto o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função é côncava para baixo em
, côncava para cima em
, e tem ponto de inflexão em