Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
g(x)=e^{-x}-e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão da função g(x)=e^{-x}-e^{-2x}.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas (até a segunda derivada) e análise do sinal de g''(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de primeira ordem usando a regra de potência composta:
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) = -e^{-x} \;-\;(-2)\,e^{-2x} = -e^{-x} + 2\,e^{-2x}.

Passo 3

Agora obtemos a segunda derivada:
g''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x} + 2\,e^{-2x}\bigr) = e^{-x} \;-\;4\,e^{-2x}.
Fatorando e^{-2x}, fica
g''(x) = e^{-2x}\,(e^x - 4).

Passo 4

Para determinar concavidade, analisamos o sinal de g''(x). Como e^{-2x}>0 para todo x, o sinal de g''(x) é o mesmo de (e^x - 4).
  • Se x<\ln(4), então e^x<4 e g''(x)<0: a curva é côncava para baixo.
  • Se x>\ln(4), então e^x>4 e g''(x)>0: a curva é côncava para cima.

Passo 5

O ponto onde a concavidade muda (ponto de inflexão) ocorre em g''(x)=0, ou seja em
e^x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \ln(4).
Para encontrar a ordenada, calculamos
g(\ln(4)) = e^{-\ln(4)} - e^{-2\ln(4)} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(\ln(4),\,\tfrac{3}{16}\bigr).

Resposta

A função é côncava para baixo em \bigl(-\infty,\ln(4)\bigr), côncava para cima em \bigl(\ln(4),\infty\bigr), e tem ponto de inflexão em
\bigl(\ln(4),\,\tfrac{3}{16}\bigr).

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