Estude a função dada com relação a máximos e mínimos no conjunto dado.
(a) f(x, y)=3 x-y, com
(a) f(x, y)=3 x-y, com
Passo 1
O enunciado pede pra estudar os extremos da função f(x,y)=3x−y no conjunto A definido pelas restrições x≥0, y≥0, y−x≤3 e x+y≤4. O conteúdo aqui é otimização linear em um polígono convexo, então vamos encontrar os vértices de A e avaliar f neles.
Passo 2
Para achar os vértices de A, consideramos as retas das restrições de duas em duas e verificamos quais satisfazem todas as desigualdades:
- x=0 e y=0 ⇒ (0,0).
- x=0 e y−x=3 ⇒ y=3 ⇒ (0,3).
- y=0 e x+y=4 ⇒ x=4 ⇒ (4,0).
- y−x=3 e x+y=4 ⇒ y=x+3, x+(x+3)=4 ⇒ 2x+3=4 ⇒ x=1/2, y=7/2 ⇒ (1/2,7/2).
O ponto (0,4) vem de x=0 e x+y=4 mas não satisfaz y−x≤3, então fica de fora. Logo, os vértices de A são (0,0), (4,0), (1/2,7/2) e (0,3).
Passo 3
Agora avaliamos f em cada vértice:
f(0,0)=3·0−0=0
f(4,0)=3·4−0=12
f(1/2,7/2)=3·(1/2)−7/2=3/2−7/2=−2
f(0,3)=3·0−3=−3
f(0,0)=3·0−0=0
f(4,0)=3·4−0=12
f(1/2,7/2)=3·(1/2)−7/2=3/2−7/2=−2
f(0,3)=3·0−3=−3
Passo 4
Como f é linear, o máximo e o mínimo absolutos em A ocorrem nesses vértices. O maior valor é 12 em (4,0) e o menor é −3 em (0,3).
Resposta
Máximo absoluto de 12 em (4,0) e mínimo absoluto de −3 em (0,3).