Se f(x) e g(y) são duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e[c, d], respectivametne, então
integral duplaR f(x) g(y) d x d y=(integrala^b f(x) d x)(integralc^d g(y) d y),
sendo R o retângulo a <= x <= b e c <= y <= d.
Utilize este fato para calcular as seguintes integrais:
(a) integral duplaR x y^2 d x d y, sendo R o retângulo 1 <= x <= 2 e 2 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y^2 ,dx,dy sobre o retângulo R definido por 1 <= x <= 2 e 2 <= y <= 3. O conteúdo aqui é separação de variáveis em integrais duplas (resultado de Fubini para funções que podem ser escritas como produto f(x)g(y)). Vamos precisar apenas calcular duas integrais simples em uma variável e depois multiplicar os resultados.

Passo 2

Primeiro calculamos a integral em x:
integral1^2 x ,dx = x^22|1^2 = 2^22 - 1^22 = 2 - 12 = 32

Passo 3

Em seguida, calculamos a integral em y:
integral2^3 y^2 ,dy = y^33|2^3 = 273 - 83 = 193

Passo 4

Por fim, usamos o fato de que
integral duplaR f(x)g(y) ,dx,dy = l(integral1^2 f(x),dxr)l(integral2^3 g(y),dyr),
com f(x)=x e g(y)=y^2. Então multiplicamos os resultados obtidos acima.

Resposta

192

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