Exercício 7 Utilizando o teorema de Green, calcule a integral
sendo
a curva descrita pelo triângulo de vértices
e
, percorrido de
para
para
e
para
.
Passo 1
A gente tem que calcular a integral de linha
ao longo do triângulo de vértices A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,1), percorrido A→B→C→A. O conteúdo é o Teorema de Green e vamos transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região triangular.
Passo 2
Segundo o Teorema de Green,
. Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
e
. Portanto o integrando do duplo passa a ser
.
Passo 4
A região
é o triângulo com
e
. Montamos a integral dupla:
Passo 5
Fazendo a integral interna em
:
Depois,