Exercício 7 Utilizando o teorema de Green, calcule a integral
integralgamma x^2 d x+x y d y,
sendo gamma a curva descrita pelo triângulo de vértices A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,1), percorrido de A para B, A para B e C para A.

Passo 1

A gente tem que calcular a integral de linha integralgamma x^2,dx + x y,dy ao longo do triângulo de vértices A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,1), percorrido A→B→C→A. O conteúdo é o Teorema de Green e vamos transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região triangular.

Passo 2

Segundo o Teorema de Green, integralgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA. Aqui identificamos P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=x y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: partial Qpartial x=y e partial Ppartial y=0. Portanto o integrando do duplo passa a ser y-0=y.

Passo 4

A região D é o triângulo com 0<= x<=1 e 0<= y<=1-x. Montamos a integral dupla:
integral duplaD y,dA = integralx=0^1 integraly=0^1-x y,dy,dx

Passo 5

Fazendo a integral interna em y:
integral0^1-x y,dy = 12(1-x)^2
Depois,
integral0^1 12(1-x)^2,dx = 12 integral0^1(1-2x+x^2),dx = 12l[ x - x^2 + x^33 r]0^1 = 12l(1 -1 + 13r) = 16

Resposta

16

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