Seja
diferenciável,
e
dois vetores unitários ortogonais. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é diferenciável em . -
e são vetores unitários ortogonais (ou seja, , e ).
A pergunta é: mostrar que, no ponto,
Aqui
e
são as derivadas direcionais de
nas direções
e
, respectivamente.
Passo 2
Definição da derivada direcional e do significado de diferenciabilidade (a receita que vamos usar).
- A derivada direcional de
na direção no ponto é
quando esse limite existe.
- A diferenciabilidade de
em significa que existe um vetor (o gradiente) tal que, para pequeno,
onde
é um resto que satisfaz
. Em palavras:
é bem aproximada por sua aproximação linear
quando
é pequeno. (Aqui
é o produto escalar.)
Vou usar essa aproximação para relacionar derivada direcional com produto escalar com o gradiente.
Passo 3
Calcular a derivada direcional usando a aproximação linear. Tomemos
com
. Pela diferenciabilidade,
Subtraindo
, dividindo por
e passando ao limite
obtemos
Como
(pois
), temos
e, pela propriedade do resto
, esse termo tende a
quando
. Portanto o limite existe e
Passo 4
Aplicando exatamente o mesmo raciocínio para
(substituindo
por
) obtemos
Assim já vimos que as derivadas direcionais são os produtos escalares do gradiente com as direções.
Passo 5
Agora usamos que
é uma base ortonormal de
. Qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear
Para encontrar
e
basta projetar: tomando produto escalar com
e usando
e
dá
logo
. Analogamente
. Assim, na base ortonormal os coeficientes são exatamente as projeções (produtos escalares).
Passo 6
Aplicando a decomposição do Passo 5 ao vetor
obtemos
Pelo Passo 3 e Passo 4 substituímos cada produto escalar pelas derivadas direcionais:
Isto é exatamente a identidade que se pedia, válida no ponto
.