Seja f diferenciável, \vec{u} e \vec{v} dois vetores unitários ortogonais. Mostre que
\nabla f(x, y)=\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x, y) \vec{u}+\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x, y) \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f é diferenciável em (x,y).
  • \vec{u} e \vec{v} são vetores unitários ortogonais (ou seja, \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=1 e \vec{u}\cdot\vec{v}=0).
    A pergunta é: mostrar que, no ponto (x,y),
\nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x,y)\,\vec{u}+\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x,y)\,\vec{v}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x,y) são as derivadas direcionais de f nas direções \vec{u} e \vec{v}, respectivamente.

Passo 2

Definição da derivada direcional e do significado de diferenciabilidade (a receita que vamos usar).
  • A derivada direcional de f na direção \vec{u} no ponto p=(x,y) é
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(p)=\lim_{t\to 0}\frac{f(p+t\vec{u})-f(p)}{t},
quando esse limite existe.
  • A diferenciabilidade de f em p significa que existe um vetor \nabla f(p) (o gradiente) tal que, para h\in\mathbb{R}^2 pequeno,
f(p+h)=f(p)+\nabla f(p)\cdot h + r(h),
onde r(h) é um resto que satisfaz \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{r(h)}{\|h\|}=0. Em palavras: f é bem aproximada por sua aproximação linear f(p)+\nabla f(p)\cdot h quando h é pequeno. (Aqui \cdot é o produto escalar.)
Vou usar essa aproximação para relacionar derivada direcional com produto escalar com o gradiente.

Passo 3

Calcular a derivada direcional usando a aproximação linear. Tomemos h=t\vec{u} com t\to 0. Pela diferenciabilidade,
f(p+t\vec{u})=f(p)+\nabla f(p)\cdot (t\vec{u}) + r(t\vec{u}).
Subtraindo f(p), dividindo por t e passando ao limite t\to 0 obtemos
\frac{f(p+t\vec{u})-f(p)}{t}=\nabla f(p)\cdot\vec{u} + \frac{r(t\vec{u})}{t}.
Como \|t\vec{u}\|=|t|\|\vec{u}\|=|t| (pois \|\vec{u}\|=1), temos \dfrac{r(t\vec{u})}{t}=\dfrac{r(t\vec{u})}{\|t\vec{u}\|}\cdot\mathrm{sgn}(t) e, pela propriedade do resto r(h), esse termo tende a 0 quando t\to 0. Portanto o limite existe e
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(p)=\nabla f(p)\cdot\vec{u}.

Passo 4

Aplicando exatamente o mesmo raciocínio para \vec{v} (substituindo \vec{u} por \vec{v}) obtemos
\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(p)=\nabla f(p)\cdot\vec{v}.
Assim já vimos que as derivadas direcionais são os produtos escalares do gradiente com as direções.

Passo 5

Agora usamos que \{\vec{u},\vec{v}\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2. Qualquer vetor \vec{w}\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear
\vec{w}=a\,\vec{u}+b\,\vec{v}.
Para encontrar a e b basta projetar: tomando produto escalar com \vec{u} e usando \vec{u}\cdot\vec{u}=1 e \vec{u}\cdot\vec{v}=0
\vec{w}\cdot\vec{u}=a(\vec{u}\cdot\vec{u})+b(\vec{v}\cdot\vec{u})=a,
logo a=\vec{w}\cdot\vec{u}. Analogamente b=\vec{w}\cdot\vec{v}. Assim, na base ortonormal os coeficientes são exatamente as projeções (produtos escalares).

Passo 6

Aplicando a decomposição do Passo 5 ao vetor \vec{w}=\nabla f(p) obtemos
\nabla f(p)=(\nabla f(p)\cdot\vec{u})\,\vec{u}+(\nabla f(p)\cdot\vec{v})\,\vec{v}.
Pelo Passo 3 e Passo 4 substituímos cada produto escalar pelas derivadas direcionais:
\nabla f(p)=\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(p)\,\vec{u}+\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(p)\,\vec{v}.
Isto é exatamente a identidade que se pedia, válida no ponto p=(x,y).

Resposta

\nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x,y)\,\vec{u}+\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(x,y)\,\vec{v}

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