Estude a posição relativa entre os plano \pi 1 e \pi 2 em cada caso.
\pi 1: \mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z}-5=0 ; \quad \pi 2: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}-4=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre os planos
\pi_1: x + y + 2z - 5 = 0
e
\pi_2: x - 2y + 3z - 4 = 0.
O que precisamos é comparar os vetores normais de cada plano e, a partir disso, decidir se eles são paralelos (colineares), coincidentes ou se se interceptam numa reta. Em caso de interseção, podemos ainda calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Identificamos os vetores normais:
n_1 = (1,\,1,\,2)
para \pi_1 e
n_2 = (1,\,-2,\,3)
para \pi_2. Esses vetores determinam a orientação de cada plano.

Passo 3

Para saber se os planos são paralelos, verificamos se existe escalar \lambda tal que
n_1 = \lambda\,n_2.
Isso exigiria
(1,\,1,\,2) = (\lambda,\, -2\lambda,\,3\lambda),
o que implica \lambda=1 pela primeira coordenada, mas então a segunda coordenada daria 1=-2, impossibilidade. Logo, não há \lambda que iguale n_1 a n_2: os planos não são paralelos.

Passo 4

Como os planos não são paralelos, eles se cortam segundo uma reta. Além disso, a interseção de dois planos não coincidentes e não paralelos é sempre uma reta única em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Podemos calcular o ângulo \theta entre os planos pelo ângulo entre os normais. Usamos
\cos\theta = \frac{\lvert n_1 \cdot n_2\rvert}{\lVert n_1\rVert\,\lVert n_2\rVert}.
Temos
n_1\cdot n_2 = 1\cdot1 + 1\cdot(-2) + 2\cdot3 = 1 - 2 + 6 = 5,
\lVert n_1\rVert = \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6}, \quad \lVert n_2\rVert = \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{14}.
Portanto
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{84}} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{84}}\Bigr).

Resposta

Os planos \pi_1 e \pi_2 não são paralelos nem coincidentes, portanto intersectam ao longo de uma reta. O ângulo entre eles é
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{84}}\Bigr).

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