Estude a posição relativa entre os plano \pi 1 e \pi 2 em cada caso.
\pi 1: \mathrm{X}=(1,1,-1)+\lambda(2,2,3)+\mu(-1,0,2) ; \pi 2: \mathrm{X}=(1,0,-2)+m(2,1,1)+n(1,-2,4)

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica: \pi_1:\mathbf X=(1,1,-1)+\lambda(2,2,3)+\mu(-1,0,2) \pi_2:\mathbf X=(1,0,-2)+m(2,1,1)+n(1,-2,4)
Para classificar a posição relativa devemos encontrar vetores normais de cada plano e ver se eles são paralelos (planos paralelos ou coincidentes) ou não (planos secantes).

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de \pi_1: \mathbf a=(2,2,3) e \mathbf b=(-1,0,2).
O normal \mathbf n_1 é dado por
\mathbf n_1 = \mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 2 & 3\\\\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (4,\, -7,\, 2).

Passo 3

Extraímos os vetores diretores de \pi_2: \mathbf c=(2,1,1) e \mathbf d=(1,-2,4).
O normal \mathbf n_2 é
\mathbf n_2 = \mathbf c \times \mathbf d = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (6,\, -7,\, -5).

Passo 4

Comparamos \mathbf n_1=(4,-7,2) e \mathbf n_2=(6,-7,-5).
Os vetores não são múltiplos um do outro (por exemplo 4/6\neq -7/-7), logo \mathbf n_1\not\parallel \mathbf n_2.
Isto implica que os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam segundo uma reta.

Resposta

Os planos \pi_1 e \pi_2 são secantes (ou seja, interceptam-se ao longo de uma reta).

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