Estude a posição relativa entre os plano \pi 1 e \pi 2 em cada caso. \pi 1: \mathrm{X}=(1,1,-1)+\lambda(2,2,3)+\mu(-1,0,2) ; \pi 2: \mathrm{X}=(1,0,-2)+m(2,1,1)+n(1,-2,4)
Passo 1
O enunciado dá dois planos em forma paramétrica: \pi_1:\mathbf X=(1,1,-1)+\lambda(2,2,3)+\mu(-1,0,2) \pi_2:\mathbf X=(1,0,-2)+m(2,1,1)+n(1,-2,4)
Para classificar a posição relativa devemos encontrar vetores normais de cada plano e ver se eles são paralelos (planos paralelos ou coincidentes) ou não (planos secantes).
Passo 2
Extraímos os vetores diretores de \pi_1: \mathbf a=(2,2,3) e \mathbf b=(-1,0,2).
O normal \mathbf n_1 é dado por
Comparamos \mathbf n_1=(4,-7,2) e \mathbf n_2=(6,-7,-5).
Os vetores não são múltiplos um do outro (por exemplo 4/6\neq -7/-7), logo \mathbf n_1\not\parallel \mathbf n_2.
Isto implica que os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam segundo uma reta.
Resposta
Os planos \pi_1 e \pi_2 são secantes (ou seja, interceptam-se ao longo de uma reta).