Estude a posição relativa entre os plano \pi 1 e \pi 2 em cada caso.
\pi 1: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 \mathrm{z}-5=0 ; \pi 2: 4 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}-8=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre os planos
\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0
e
\pi_2: 4x - 2y + 6z - 8 = 0.
Para isso vamos usar a ideia de vetor normal: dois planos podem ser concorrentes (se tiverem normais não proporcionais), paralelos coincidentes (se tiverem normais proporcionais e equações completas proporcionais) ou paralelos distintos (se normais proporcionais mas equações não proporcionais).

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano.
O vetor normal de \pi_1 é
\vec{n}_1 = (2,\,-1,\,3),
e o de \pi_2 é
\vec{n}_2 = (4,\,-2,\,6).
Note que
\vec{n}_2 = 2\,\vec{n}_1,
ou seja, os vetores são proporcionais, logo os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 3

Para verificar se são coincidentes, comparar a proporção também nos termos constantes. Se \pi_2 fosse exatamente 2 vezes \pi_1, teríamos
2\cdot(2x - y + 3z -5)=4x -2y +6z -10,
mas \pi_2 tem constante -8 em vez de -10. Como não há a mesma proporção em todos os termos, os planos não coincidem.

Resposta

Os planos \pi_1 e \pi_2 são paralelos e distintos.

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