O enunciado nos dá duas retas no espaço: \displaystyle r:\;X=(2,1,-1)+\lambda\,(-3,1,-1)
e \displaystyle s:\;\frac{x-1}{6}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-4}{2}.
Queremos determinar a posição relativa entre elas (intersectam-se, são paralelas coincidentes ou paralelas distintas). Para isso, precisamos extrair os vetores diretores, verificar colinearidade e, se forem colineares, testar existência de ponto em comum.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores: \displaystyle \vec v_r =(-3,1,-1) e \displaystyle \vec v_s=(6,-2,2).
Verificamos se há escalar k tal que \vec v_s = k\,\vec v_r. Observamos que
-2\cdot(-3,1,-1) = (6,-2,2),
logo \vec v_s = -2\,\vec v_r. Isso mostra que as retas são paralelas ou coincidentes.
Passo 3
Para decidir se são coincidentes ou somente paralelas distintas, basta ver se um ponto de s\) pertence a \(r\). Um ponto de \(s\) obtém-se tomando o parâmetro igual a zero na forma simétrica, por exemplo \(\displaystyle P_s=(1,2,4)\).
Procuramos \(\lambda\) tal que
\[(2,1,-1)+\lambda(-3,1,-1) = (1,2,4).