Estude a posição relativa entre as retas r e s em cada caso.
r: X=(2,1,-1)+\lambda(-3,1,-1) \quad s: $$ s: \frac{x-1}{6}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-4}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço: \displaystyle r:\;X=(2,1,-1)+\lambda\,(-3,1,-1)
e \displaystyle s:\;\frac{x-1}{6}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-4}{2}.
Queremos determinar a posição relativa entre elas (intersectam-se, são paralelas coincidentes ou paralelas distintas). Para isso, precisamos extrair os vetores diretores, verificar colinearidade e, se forem colineares, testar existência de ponto em comum.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores: \displaystyle \vec v_r =(-3,1,-1) e \displaystyle \vec v_s=(6,-2,2).
Verificamos se há escalar k tal que \vec v_s = k\,\vec v_r. Observamos que
-2\cdot(-3,1,-1) = (6,-2,2),
logo \vec v_s = -2\,\vec v_r. Isso mostra que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 3

Para decidir se são coincidentes ou somente paralelas distintas, basta ver se um ponto de s\) pertence a \(r\). Um ponto de \(s\) obtém-se tomando o parâmetro igual a zero na forma simétrica, por exemplo \(\displaystyle P_s=(1,2,4)\). Procuramos \(\lambda\) tal que \[(2,1,-1)+\lambda(-3,1,-1) = (1,2,4).
Isto gera o sistema
\begin{cases} 2-3\lambda = 1,\\\\ 1+\lambda = 2,\\\\ -1-\lambda = 4. \end{cases}
Da primeira equação vem \lambda=\tfrac13\], da segunda \(\lambda=1 e da terceira \lambda=-5. Há contradição, então P_s\notin r.

Passo 4

Como os vetores diretores são colineares mas não existe ponto comum, concluímos que as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas r e s são paralelas distintas.

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