(Questão 02) [2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) 2 x^{2}+5 y^{2}+4 z^{2}=8
( )Elipsóide
b) -x^{2}-y+z^{2}=0
( )Sela
c) y^{2}+3 z^{2}=-8+x^{2}
( )Hiperbolóide de 1 folha
( )Hiperbolóide de 2 folhas
d) $x^{2}-\sqrt{3} y^{2}+8 z^{2}=1

Passo 1

Resumindo, temos quatro superfícies quádricas dadas por
a) 2x^{2}+5y^{2}+4z^{2}=8
b) -x^{2}-y+z^{2}=0
c) y^{2}+3z^{2}=-8+x^{2}
d) x^{2}-\sqrt{3}\,y^{2}+8z^{2}=1
e precisamos identificar qual é cada tipo: elipsóide, sela (hiperbolóide parabólico), hiperbolóide de uma folha e hiperbolóide de duas folhas. Para isso, olharemos os sinais e a forma canônica de cada equação.

Passo 2

Analisando a equação
2x^{2}+5y^{2}+4z^{2}=8,
todos os coeficientes de x^{2},y^{2},z^{2} são positivos e o lado direito é positivo. Esse é o formato típico de um elipsóide, pois equivale a
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8/5}+\frac{z^{2}}{2}=1
com três termos quadráticos positivos.

Passo 3

Na equação
-x^{2}-y+z^{2}=0
o termo em y é linear, enquanto x e z aparecem em quadrado com sinais opostos. Reorganizando, temos
y = z^{2}-x^{2},
que é exatamente a forma de um hiperbolóide parabólico, também chamado de superfície do tipo sela.

Passo 4

Para
y^{2}+3z^{2}=-8+x^{2}
podemos reescrever como
x^{2}-y^{2}-3z^{2}=8.
Aqui há um coeficiente positivo x^{2} e dois negativos -y^{2},-3z^{2}, com constante positiva à direita. Essa forma
\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{8/3}=1
corresponde ao hiperbolóide de duas folhas.

Passo 5

Finalmente, em
x^{2}-\sqrt{3}\,y^{2}+8z^{2}=1
temos dois quadrados com coeficiente positivo x^{2},\,8z^{2} e um com coeficiente negativo -\sqrt{3}\,y^{2}. Essa é a configuração típica do hiperbolóide de uma folha.

Resposta

Elipsóide: a
Sela: b
Hiperbolóide de 1 folha: d
Hiperbolóide de 2 folhas: c

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