Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogeneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de paràmetros para obter uma solução particular.
x y^{(4)}+6 y^{\prime \prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Cauchy–Euler
x\,y^{(4)} + 6\,y''' = 0
que é homogênea. Para isso vamos usar redução de ordem: definir w=y''' e transformar em uma equação de primeira ordem em w.

Passo 2

Definindo
w = y'''
temos
w' = y''''.
Substituindo em x\,y^{(4)} + 6\,y''' = 0 obtemos a equação de primeira ordem em w:
x\,w' + 6\,w = 0.

Passo 3

Para resolver
x\,w' + 6\,w = 0
escrevemos
\frac{w'}{w} = -\frac{6}{x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\ln|w| = -6\ln|x| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad w = C_1\,x^{-6}.

Passo 4

Voltando a y, temos y'''=w=C_1\,x^{-6}. Integramos três vezes:
y'' = \int C_1\,x^{-6}\,dx = C_1\frac{x^{-5}}{-5} + C_2 = -\frac{C_1}{5}x^{-5} + C_2,
y' = \int\Bigl(-\frac{C_1}{5}x^{-5} + C_2\Bigr)dx = -\frac{C_1}{5}\frac{x^{-4}}{-4} + C_2x + C_3 = \frac{C_1}{20}x^{-4} + C_2x + C_3,
y = \int\Bigl(\frac{C_1}{20}x^{-4} + C_2x + C_3\Bigr)dx = \frac{C_1}{20}\frac{x^{-3}}{-3} + \frac{C_2}{2}x^2 + C_3x + C_4 = -\frac{C_1}{60}x^{-3} + \frac{C_2}{2}x^2 + C_3x + C_4.

Passo 5

Renomeando as constantes A=-\tfrac{C_1}{60}, B=\tfrac{C_2}{2}, C=C_3, D=C_4, a solução geral homogênea fica
y_h(x) = A\,x^{-3} + B\,x^2 + C\,x + D.

Resposta

y_h(x) = C_1\,x^{-3} + C_2\,x^2 + C_3\,x + C_4.

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