Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogeneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de paràmetros para obter uma solução particular.
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de Cauchy–Euler
x\,y''+y'=0
que é homogênea e pode ser escrita no formato padrão
x^2y''+1\cdot x\,y'+0\cdot y=0.
Para resolver usamos o método de Euler, assumindo uma solução do tipo y=x^m.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y=x^m:
y'=m\,x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo em x\,y''+y'=0 obtemos
x\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]+m\,x^{m-1} = m(m-1)x^{m-1}+m\,x^{m-1} = m^2\,x^{m-1}=0.
Como x^{m-1}\neq0, vem a equação característica
m^2=0\quad\Longrightarrow\quad m=0\text{ (dupla)}.

Passo 3

Para uma raiz dupla m=0 na equação de Euler, a solução geral homogênea é
y_h=C_1\,x^0 + C_2\,x^0\ln(x) =C_1 + C_2\ln(x).
Como usamos Euler em domínio x>0 (ou x<0), podemos escrever de forma geral
y_h=C_1 + C_2\ln\lvert x\rvert.

Resposta

y=C_1 + C_2\ln\lvert x\rvert

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