Estude a posição relativa entre os planos \pi_1 e \pi_2 e determine a intersecção, caso exista:
a) \pi_1: x + y + 2z - 5 = 0 e \pi_2: 2y + 3z + 4 = 0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa dos planos
\pi_1: x + y + 2z - 5 = 0
e
\pi_2: 2y + 3z + 4 = 0,
isto é, verificar se eles são paralelos, coincidentes ou se se cortam numa reta. Para isso vamos usar os vetores normais e, se não forem paralelos, resolver o sistema formado pelas duas equações para obter a reta de interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
\displaystyle n_1=(1,\,1,\,2) para \pi_1 e \displaystyle n_2=(0,\,2,\,3) para \pi_2.
Dois planos são paralelos ou coincidentes se um normal for múltiplo do outro.

Passo 3

Verificamos que não existe \lambda tal que
(0,2,3)=\lambda(1,1,2),
pois o primeiro componente de n_2 é zero e de n_1 é 1. Logo n_1 e n_2 não são colineares, o que implica que os planos não são paralelos. Consequentemente eles se cortam numa reta.

Passo 4

Para achar a reta de interseção, resolvemos o sistema
\begin{cases} x + y + 2z - 5 = 0,\\\\ 2y + 3z + 4 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem
y = -\frac{3z+4}{2}.
Substituindo na primeira:
x = 5 - y - 2z = 5 + \frac{3z+4}{2} - 2z = \frac{14 - z}{2}.
Escolhendo z=2s como parâmetro s\in\mathbb{R}, obtemos
x = 7 - s,\quad y = -2 - 3s,\quad z = 2s.

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial, a reta de interseção \ell é
\ell:\;(x,y,z) = (7,\,-2,\,0) + s\,(-1,\,-3,\,2), \quad s\in\mathbb{R}.

Resposta

Os planos não são paralelos e se intersectam numa reta, cuja equação parametrizada é
\ell:\;(x,y,z) = (7,\,-2,\,0) + s\,(-1,\,-3,\,2),\;s\in\mathbb{R}.

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