As retas r: (2, -1) + \lambda (-2, -2) e s: X = (6, 1, 3) + \mu(-3, 1, -1) são concorrentes?

Passo 1

O enunciado dá duas retas paramétricas:
r vive em \mathbb{R}^2 e está dada por
r: \;(x,y) \;=\;(2,-1)+\lambda\,(-2,-2),
e s vive em \mathbb{R}^3 e está dada por
s: \;(x,y,z)\;=\;(6,1,3)+\mu\,(-3,1,-1).
Para que duas retas sejam concorrentes é preciso que elas pertençam ao mesmo espaço (ambas em \mathbb{R}^2 ou ambas em \mathbb{R}^3) e que exista \lambda e \mu tais que seus pontos coincidam.

Passo 2

Aqui r está em \mathbb{R}^2\) (só tem coordenadas \(x,y\)) e s está em \(\mathbb{R}^3\) (tem \(x,y,z\)). Não faz sentido igualar coordenadas de dimensões diferentes: r não dá valor para \(z\). Logo não há como resolver um sistema \[\begin{cases} 2-2\lambda = 6-3\mu,\\\\ -1-2\lambda = 1+\mu,\\\ \text{(não há equação para \(z em r)} \end{cases}]
e encontrar (\lambda,\mu). Sem estar no mesmo espaço, não podem se intersectar.

Resposta

As retas não são concorrentes; pertencem a espaços de dimensões diferentes e não há ponto comum.

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