\int_{0}^{2} \frac{2 x^{3}+1}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\frac{2x^{3}+1}{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo é integração de funções racionais por divisão de polinômios e identificação de derivada do denominador. Vamos reescrever o integrando de modo a separar um termo cuja integral seja imediata.

Passo 2

Fazemos a “divisão” do polinômio do numerador em função de x^2+1. Note que
2x^{3}+1 = 2x\,(x^{2}+1)\;-\;2x\;+\;1.
Logo
\frac{2x^{3}+1}{x^{2}+1} =2x \;+\;\frac{-2x+1}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Um antiderivado é
\int 2x\,dx = x^{2},\quad \int \frac{-2x}{x^{2}+1}\,dx = -\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),\quad \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).
Portanto, um antiderivado geral é
F(x)=x^{2}-\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan(x)+C.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\frac{2x^{3}+1}{x^{2}+1}\,dx =F(2)-F(0) =\bigl(4-\ln(5)+\arctan(2)\bigr)-\bigl(0-\ln(1)+\arctan(0)\bigr).
Como \ln(1)=0 e \arctan(0)=0, fica
4-\ln(5)+\arctan(2).

Resposta

4-\ln(5)+\arctan(2).

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