Obtenha uma equação geral do plano
que contém o ponto
e é perpendicular à reta
:
e
contém
e
Passo 1
A questão pede a equação geral do plano π que passa por P=(0,1,-1) e é perpendicular à reta r que passa por A=(1,-1,1) e B=(-1,1,-1). O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, em especial a relação entre plano e reta perpendicular e o uso de vetores normais.
Passo 2
Primeiro, calculamos o vetor diretor da reta r subtraindo A de B. Temos B−A = (−1−1, 1−(−1), −1−1) = (−2,2,−2).
Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor de r é normal ao plano. Assim o vetor normal ao plano pode ser escolhido como n = (−2,2,−2). Para simplificar, podemos usar n = (1,−1,1), que é proporcional.
Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor de r é normal ao plano. Assim o vetor normal ao plano pode ser escolhido como n = (−2,2,−2). Para simplificar, podemos usar n = (1,−1,1), que é proporcional.
Passo 3
A forma ponto-normal da equação do plano é dada por a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0, onde (a,b,c)=n e (x₀,y₀,z₀)=P. Substituindo n=(1,−1,1) e P=(0,1,−1) obtemos:
x − (y−1) + (z+1) = 0 ⟹ x − y + 1 + z + 1 = 0 ⟹ x − y + z + 2 = 0
x − (y−1) + (z+1) = 0 ⟹ x − y + 1 + z + 1 = 0 ⟹ x − y + z + 2 = 0