Estude a posição relativa entre:
os planos \pi_{1}:-6 x+10 y+4 z-1=0 e \pi_{2}: 3 x-5 y-2 z+5=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa dos planos \pi_{1}: -6x + 10y + 4z - 1 = 0 e \pi_{2}: 3x - 5y - 2z + 5 = 0.
O conteúdo é geometria no espaço: identificamos os vetores normais, verificamos se são paralelos e, em caso afirmativo, se os planos coincidem ou não.

Passo 2

Extraímos os vetores normais a cada plano:
\mathbf{n}_{1} = (-6,\,10,\,4), \qquad \mathbf{n}_{2} = (3,\,-5,\,-2).

Passo 3

Verificamos se \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2} são proporcionais. De fato,
\mathbf{n}_{2} = -\tfrac12\,\mathbf{n}_{1},
pois -\tfrac12\cdot(-6)=3, -\tfrac12\cdot10=-5 e -\tfrac12\cdot4=-2.
Logo os planos são paralelos.

Passo 4

Para decidir se são coincidentes ou distintos, comparamos as equações. Multiplicando \pi_{1} por -\tfrac12, teríamos
-\tfrac12(-6x+10y+4z-1)=3x-5y-2z+\tfrac12=0.
Mas \pi_{2} tem termo independente +5\neq\tfrac12. Portanto as equações não coincidem e os planos são paralelos distintos.

Resposta

Os planos são paralelos distintos.

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