Problema 12.

Use a definição de elipse para encontrar uma equação da elipse cujos focos são
F_{1}=(2,2) \quad \text { e } \quad F_{2}=(-2,2)
e cujo eixo menor mede 2 unidades.

Passo 1

O enunciado dá os focos
F_{1}=(2,2),\quad F_{2}=(-2,2),
e informa que o eixo menor mede 2 unidades.
O conteúdo é a definição de elipse: o lugar geométrico dos pontos P tais que a soma das distâncias \overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}} é constante igual a 2a.
Para resolver vamos achar o centro, o semi-distância focal c, o semi-eixo menor b, depois a pela relação c^{2}=a^{2}-b^{2} e, finalmente, escrever a equação-padrão.

Passo 2

Os focos têm mesmo valor de y, logo o eixo maior é horizontal.
O centro C é o ponto médio de F_{1}F_{2}:
C=\bigl(\tfrac{2+(-2)}{2},\,\tfrac{2+2}{2}\bigr)=(0,2).
A distância de C a cada foco é
c=\text{distância}(C,F_{1})=\sqrt{(2-0)^{2}+(2-2)^{2}}=2.â

Passo 3

O eixo menor mede 2, então
2b=2\quad\Longrightarrow\quad b=1.
Na elipse satisfaz-se
c^{2}=a^{2}-b^{2} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}=1+4=5,
logo a=\sqrt{5}.

Passo 4

A equação-padrão de uma elipse com centro (h,k), semi-eixos a (horizontal) e b (vertical) é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.
Substituindo h=0, k=2, a^{2}=5 e b^{2}=1, obtemos
\frac{x^{2}}{5}+\frac{(y-2)^{2}}{1}=1.

Resposta

\frac{x^{2}}{5}+(y-2)^{2}=1.

Exercícios relacionados