Problema 13.

Sejam os vetores unitários \vec{u} e \vec{v} formando entre si um ângulo de 60^{\circ}. Seja o vetor \vec{w} também unitário e perpendicular aos vetores \vec{u} e \vec{v} (isto é, \vec{w} é ortogonal tanto a \vec{u} quanto a \vec{v} ). Calcule o comprimento (norma) do vetor resultante
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}

Passo 1

O enunciado nos dá vetores unitários \vec{u} e \vec{v} com ângulo de 60^\circ entre eles, e mais \vec{w} unitário ortogonal a ambos. Pede-se \|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\|. Para isso vamos usar produto escalar e a identidade da norma ao quadrado de soma de vetores.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
\|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} + \vec{w}\cdot\vec{w} + 2\bigl(\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}\bigr).

Passo 3

Como são unitários, \vec{u}\cdot\vec{u} = \vec{v}\cdot\vec{v} = \vec{w}\cdot\vec{w} = 1. Além disso \vec{u}\cdot\vec{v} = \cos 60^\circ = \tfrac12 e \vec{u}\cdot\vec{w} = \vec{v}\cdot\vec{w} = 0,
pois \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Substituindo:
\|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\|^2 = 1+1+1 + 2\Bigl(\tfrac12+0+0\Bigr) = 3 + 1 = 4.
Logo
\|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\| = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados